Некоторые Теоремы Штурма (стр. 4 из 5)

или

и (3.3₁)

выполняются в некоторой точке

, то уравнение (3.3₂) называется строгой мажорантой Штурма для (3.3₁) на J.

Теорема 3.1 (первая теорема сравнения Штурма). Пусть коэффициенты уравнения

непрерывны на интервале J: , и пусть уравнение (3.3₂) является мажорантой Штурма для (3.1₁). Предположим, что функция является решением уравнения (3.1₁) и имеет точно нулей при ,а функция удовлетворяет уравнению (3.1₂) и

(3.4)

при

. [Выражение в правой (соответственно левой) части неравенства (3.4) при полагается равным , если (соответственно если ); в частности, соотношение (3.4) справедливо при , если .] Тогда имеет при пo крайней мере n нулей. Более того, имеет по крайней мере n нулей при , если при в (3.4) имеет место строгое неравенство или если уравнение (3.1 г) является строгой мажорантой Штурма для (3.1₁) при .

Доказательство. В силу (3.4) можно определить при

пару непрерывных функций с помощью соотношений

(3.5)

Тогда справедливы аналоги соотношения (2.43):

(3.6_j)

Поскольку непрерывные функции

, гладким образом зависят от , решения системы (3.6) однозначно определяются своими начальными условиями. Из (3.2) следует, что при и всех . Поэтому последняя часть (3.5) и следствие III.4.2 означают, что

для В частности, из следует, что , и первая часть теоремы вытекает из леммы 3.1.

Чтобы доказать последнюю часть теоремы, предположим вначале, что при

в (3.4) имеет место строгое неравенство. Тогда . Обозначим через решение уравнения (3.6₂), удовлетворяющее начальному условию , так что . Поскольку решение уравнения (3.6₂) однозначно определяется начальными условиями, при . Неравенство, аналогичное (3.7), означает, что потому . Следовательно, имеет n нулей при .

Рассмотрим теперь тот случай, когда в (3.4) имеет место равенство, но в некоторой точке из

выполняется либо (3.3₁), либо (3.3₂). Запишем (3.6₂) в виде

,

где

Если доказываемое утверждение неверно, то из уже рассмотренного случая следует, что

при .Поэтому и при . Так как только в нулях функции , то отсюда следует, что при и .

Следовательно, если

при некотором t, то , т. е. . Если (3.3₁) не выполняется ни при каком t из отрезка , то при некотором t имеет место (3.3₂), и потому (3.3₂) справедливо на некотором подинтервале из . Но тогда на этом интервале и потому . Однако это противоречит условию . Доказательство закончено.

Следствие 3.1 (теорема Штурма о разделении нулей). Пусть уравнение (3.1₂) является мажорантой Штурма для (3.1₁) на интервале J, и пусть

- вещественные решения уравнений, (3.3_j). Пусть обращается в нуль в двух точках интервала J. Тогда имеет по крайней мере один нуль на . В частности, если и вещественные линейно независимые решения уравнения (3.1₁) (3.1₂). То нули функции разделяют нули функции и разделяются ими.

Заметим, что, последнее утверждение этой теоремы имеет смысл, поскольку нули функций

и не имеют на J предельных точек. Кроме того, , не могут иметь общего нуля , так как в противном случае в силу того, что решения уравнения (3.1₁) единственны, , где (так что и не являются линейно независимыми).