Некоторые Теоремы Штурма (стр. 5 из 5)

Упражнение 3.1. (Другое доказательство теоремы Штурма о разделении нулей, когда p₁(t)ºp₂(t)>0, q₂(t)³q₁(t).)

Предположим, что u₁(t)>0 при t₁<t₂<t₃ и утверждение неверно: например, u₂(t)>0 при t₁£ t£t₂. Умножая (p₁(t)u¢)¢+q₁(t)u=0, где u=u₁, на u₂, а (p₂(t)u¢)¢+q₂(t)u=0, где u=u₂, на u₁, вычитая и интегрируя по [t_1,t₂], получаем:

p(t)(u₁¢u₂-u₁u₂¢)³0, при t₁£t£t₂, где p=p₁=p₂. Это означает, что (u₁/u₂)¢³0; поэтому u₁/u₂>0 при t₁<t£t₂, т.е. получается, что u₁(t₂)>0 чего быть не может.

Решение:

(p₁(t)u¢)¢+q₁(t)u=0, u=u₁

(p₁(t)u₁¢)¢+q₁(t)u₁=0.

Умножим левую часть равенства на u₂, получим:

u₂(p₁(t)u₁¢)¢+q₁(t)u₁u₂=0.

Во втором уравнении проделаем соответствующие операции:

(p₂(t)u¢)¢+q₂(t)u=0, u₂=u

(p₂(t)u₂¢)¢+q₂(t)u₂=0.

Умножим левую часть равенства на u₁, получим:

u₁(p₂(t)u₂¢)¢+q₂(t)u₁u₂=0.

Вычитаем из первого уравнения второе, получим:

u₂(p₁u₁¢)¢+q₁u₁u₂-u₁(p₂u₂¢)¢-q₂u₁u₂=0, p=p₁=p₂

u₂(pu₁¢)¢+q₁u₁u₂-u₁(pu₂¢)¢-q₂u₁u₂=0

(u₂(pu₁¢)¢-u₁(pu₂¢)¢)+u₁u₂(q₁-q₂)=0

Упростим это уравнение,

u₂(p¢u₁¢+pu₁¢¢)-u₁(p¢u₂¢+pu₂¢¢)+u₁u₂(q₁-q₂)=0

Раскроем скобки, получим:

p¢u₁¢u₂+ pu₁¢¢u₂- p¢u₁u₂¢-pu₁u₂¢¢+u₁u₂(q₁-q₂)=0.

Сравнивая с формулой (2.2), получаем:

(p(u₁¢u₂-u₁u₂¢))¢+u₁u₂(q₁-q₂)=0

(p(u₁¢u₂-u₁u₂¢))¢-u₁u₂(q₂-q₁)=0

(p(u₁¢u₂-u₁u₂¢))¢=u₁u₂(q₂-q₁)=0.

Проинтегрируем это уравнение по [t₁,t], получим:

[p(u₁¢u₂-u₂¢u₁)]¢dt = u₁u₂(q₂-q₁)dt, где

u₁u₂>0, q₂-q₁³0. Значит p(u₁¢u₂-u₁u₂¢)³0.

Т.о.(u₁/u₂)¢³0 Þ u₁/u₂>0.

Упражнение 3.2. с) Проверьте, что вещественные решения u(t) ¹0 уравнения u¢¢+m/t²u=0 (1/17) имеет не более одного нуля при t>0, если m£

, и эти решения имеют бесконечно много нулей при t>0, если m> . В последнем случае множество нулей имеет две предельные точки t=0 и t=¥.

Решение: в §1 было рассмотрено упражнение 1.1 с), где показали, что функция u=t^l является решением уравнения u¢¢+m/t²u=0 тогда и только тогда, когда l удовлетворяет уравнению l(l-1)+ m=0. Решая его получили : l=

± m.

Если m>1/4, то корни l₁ и l₂ – комплексные, т.е.

u=t^1/2[cos (

m-1/4 ln t)c₁+c₂sin( m-1/4 ln t)]

имеют бесчисленное множество нулей. В частности, если положить:

c₁=sinu ,c₂=cosu,

то получим:

u= t^1/2[sin u cos (

m-1/4 ln t)+cos u sin ( m-1/4 ln t)]=

t^1/2 [sin (u+

m-1/4 ln t)].

Если m<1/4, то решение

u=с₁t^1/2+ +c₂t^1/2-

имеют не более одного нуля.

Так же, если m=1/4, то решение

u=c₁t^1/2+c₂t^1/2ln t

имеют не более одного нуля.

d) Рассмотрим уравнение Бесселя:

v¢¢+v¢/t+(1-m²/t²)v=0, (3.10)

где m-вещественный параметр. Вариация постоянных u=t^1/2/v переводит уравнение (3.10) в уравнение:

u¢¢+(1-a/t²)u=0, где a=m²-1/4 (3.11)

Проверим истинность этого утверждения u=t^1/2v, следовательно:

v=u/t^1/2=ut^-1/2.

Найдём первую производную:

v¢=(ut^-1/2) ¢=u¢t^-1/2+u(t^-1/2)¢=u¢t^-1/2-1/2ut^-3/2.

Теперь вторую производную:

v¢¢=(u¢t^1/2) ¢-1/2(ut^-3/2) ¢=u¢¢t^-1/2 +u¢(t^-1/2) ¢-1/2(u¢t^-3/2+u(t^-3/2) ¢)=

=u¢¢t^-1/2 –1/2u¢t^-3/2-1/2u¢t^-3/2+3/4uut^-5/2=

=u¢¢t^-1/2-u¢t^-3/2+3/4ut^-5/2.

Подставляя в уравнение (3.10), получим:

v¢¢+v¢/t+(1-m²/t²)v=0.

u¢¢t^-1/2-u¢t^-3/2+3/4ut^-5/2+1/t(u¢t^-1/2-1/2ut^-3/2)+(1-m²/t²)ut^-1/2=0

t^-1/2(u¢¢-u¢t^-1+3/4ut^-2+u¢t^-1-1/2ut^-2+u(1-m²/t²))=0

u¢¢+1/4ut^-2+u(1-m²/t²)=0

u¢¢+u-m²u/t²+1/4ut^-2=0

u¢¢+u-(m²u-1/4u)/t²=0

u¢¢+u-((m²-1/4)u)/t²=0

u¢¢+u-au/t²=0

u¢¢+(1-a/t²)u=0, где a=m²-1/4.

Покажем, что нули вещественного решения v(t) уравнения (3.10) образуют при t>0 такую последовательность t₁<t₂<…, что t_n-t_n-1®p при n®¥.

Так как в уравнении

u¢¢+(1-a/t²)u=0, т.е. уравнение

u¢¢+(1-(m²-1/4)/t²)u=0

m - постоянное число, то при m³1/4 и при t – достаточно большое, то выражение

1-(m²-1/4)/t²®1, т.е. если уравнение

u¢¢+(1-(m²-1/4)/t²)u=0

сравнить с уравнением u¢¢+u=0, то расстояние между последовательными нулями стремится к p, т.е. t_n-t_n-1®p при n®¥.

Теорема 3.2 (вторая теорема сравнения Штурма). Пусть выполнены условия первой части теоремы 3.1 и функция

имеет точно n нулей при . Тогда соотношение (3.4) выполняется при [где выражение в правой (соответственно левой) части (3.4) при полагается равным , если (соответственно, )]. Кроме того, при в (3.4) имеет место строгое неравенство, если выполнены условия последней части теоремы3.1.

Доказательство этого утверждения содержится по существу в доказательстве теоремы 3.1, если заметить, что из предположения о числе нулей функции

вытекает последнее неравенство в следующей цепочке: . Аналогично, в предположениях последней части теоремы доказательство теоремы 3.1 дает неравенство .

Использованная литература:

1. Ф. Хартман. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учебн. пособие./ Пер. с англ. И.Х.Сабитова, Ю.В.Егорова; под ред. В.М.Алексеева.-М.: изд.”Мир”, 1970г.-720 с.

2. В.В.Степанов. Курс дифференциальных уравнений. Гос.изд. “Технико-теор. литер.”-М., 1953г.-468 с.

3. Большая Советская Энциклопедия. /Под ред. А.М.Прохорова. Изд. 3-е., М., “Советская Энциклопедия”, 1978г., т.29. “Чачан-Эне-ле-Бен.” – 640 с.

4. Г.Вилейтнер. “История математики от Декарта до середины 19-го столетия.” М., изд. “Наука.”, 1966г. – 508 с.

5. История математики с древнейших времён до начала 19-го столетия. /Под ред. Юшкевича А.П., т.3 /Математика 18-го столетия/., изд. “Наука.”, М., 1972г. – 496 с.