S*2b0=5,52259; S*2b1=0,00267; S*2b0=2,21466;
S*b0=2,35002; S*b1=0,05171; S*b2=1,48818.
Найдем оценку корреляционной матрицы вектора b. Элементы этой матрицы определяются по формуле:
rj-1l-1=cov*(bj-1,bl-1)/(S*bj-1S*bl-1),
где cov*(bj-1,bl-1) – элементы матрицы S*(b), стоящие на пересечении j-той строки и l -того столбца ( j,l =1,2,3).
Корреляционная матрица вектора bимеет вид:
| 1 | -0,66955 | -0,98614 | |
| R*(b)= | -0,66955 | 1 | 0,56504 |
| -0,98614 | 0,56504 | 1 |
Далее, для проверки значимости отдельных коэффициентов регрессии, т.е. гипотез H0: bm=0 (m=1,2), по таблицам t-распределения для a=0,05, n=7 находим tкр=2,365. Вычисляем tнабл для каждого из коэффициентов регрессии по формуле tнабл(bj)=bj/S*bj:
tнабл(b1)=b1/S*b1=0,71892/0,05171=13,903
tнабл(b2)=b2/S*b2=1,51303/1,48818=1,01667.
Так как tнабл(b1) > tкр (13,903 > 2,365), tнабл(b2) < tкр(1,01667< 2,365), то коэффициент регрессии b1¹0, а коэффициент регрессии b2=0. Следовательно переходим к алгоритму пошагового регрессионного анализа.
4. Пошаговый регрессионный анализ
Будем рассматривать оценку нового уравнения регрессии вида
y*=b’0+b’1x1. Вектор оценок b’ определим по формуле b=(XT¢X¢)–1XT¢Y, где
| n | Sxi1 | 10 | 75 | ||
| XT¢X¢= | Sxi1 | Sx2i1 | = | 75 | 835 |
| Syi | 61,4 | b’0 | 0,52534 | ||||
| XT¢Y¢= | Sxiyi | = | 664,5 | b¢= | b’1 | = | 0,74861 |
Таким образом, оценка уравнения регрессии примет вид:
y*=0,52534+0,74861x1.
Повторив далее вычисления по пп 2 и 3, определяем, что новая оценка уравнения регрессии и его коэффициент значимы при a=0,05.
5. Нахождение матрицы парных коэффициентов корреляции
(на примере без исключения переменной)
а) находим вектор средних:
Xср=(x1ср; x2ср; yср)=(7,5; 1,41; 6,14);
б) находим вектор среднеквадратических отклонений S=(s1; s2; sy) по формуле sj=([S(xij - xjср)2]/n)0,5, i=1…n:
S=(5,22; 0,18; 3,91);
в) формируем корреляционную матрицу
| 1 | r12 | r1y | |
| R= | r21 | 1 | r2y |
| ry1 | ry2 | 1 |
где r12=r21=[(x1x2)ср-x1срx2ср]/(s1s2), ryj=rjy=[(xjy)ср-xjсрyср]/(sjsy):
| 1 | -0,565 | 0,997 | |
| R= | -0,565 | 1 | -0,612 |
| 0,997 | -0,612 | 1 |
6. Расчет оценок частных коэффициентов корреляции
Оценки частных коэффициентов корреляции определяются по формулам:
r12/y=(r12-r1yr2y)/[(1-r1y2)(1-r2y2)]0,5 =0,738;
r1y/2=(r1y-r12ry2)/[(1-r122)(1-ry22)]0,5 =0,998;
r2y/1=(r1y-r12ry2)/[(1-r122)(1-ry22)]0,5 =-0,762.
Составим матрицу частных коэффициентов корреляции:
| 1 | 0,738 | 0,998 |
| 0,738 | 1 | –0,762 |
| 0,998 | –0,762 | 1 |
Следует иметь в виду, что частный коэффициент корреляции может резко отличаться от соответствующего парного коэффициента и даже иметь противоположный знак. Любой из частных коэффициентов может быть равен нулю, в то время, как парный – отличен от нуля.
В данном примере r12/y=0,738, а r12=-0,565. Такое различие вызвано тесной связью объема валовой продукции (x1) и себестоимостью товарной продукции (y): r1y=0,997. В случае независимости величин частный и парный коэффициенты корреляции равны нулю.
7. Проверка значимости парных и частных
коэффициентов корреляции
Проверка осуществляется с помощью таблиц t-распределения Стьюдента.
Для r12: |tнабл|=|(10-2)0,5(-0,565)/(1-(-0,565)2)0,5|=1,93683<tкр(8;0,05)=2,306; гипотеза H0: r12=0 принимается с вероятностью ошибки 0,05; отвергается с вероятностью ошибки 0,1 (|tнабл|=1,93683>tкр(8;0,1)=1,86).
Для r2y: |tнабл|=|(10-2)0,5(-0,612)/(1-(-0,612)2)0,5|=2,20621<tкр(8;0,05)=2,306; гипотеза H0: r2y=0 принимается с вероятностью ошибки 0,05; отвергается с вероятностью ошибки 0,1 (|tнабл|=1,93683 > tкр(8;0,1)=1,86).
Для r1y: |tнабл|=|(10-2)0,50,997/(1-0,9972)0,5|=36,43263>tкр(8;0,05)=2,306; гипотеза H0: r1y=0 отвергается с вероятностью ошибки 0,05.
Для r12/y: |tнабл|=|(n-3)0,50,738/(1-0,7382)0,5|=2,893542>tкр(7;0,05)=2,365; гипотеза H0: r12/y=0 отвергается с вероятностью ошибки 0,05.
Для r1y/2: |tнабл|=|(n-3)0,50,998/(1-0,9982)0,5|=41,77023>tкр(7;0,05)=2,365; гипотеза H0: r1y/2=0 отвергается с вероятностью ошибки 0,05.
Для r2y/1: |tнабл|=|(n-3)0,5(-0,762)/(1-(-0,762)2)0,5|=3,11324>tкр(7;0,05)=2,365; гипотеза H0: r2y/1=0 отвергается с вероятностью ошибки 0,05.
8. Расчет оценок множественных коэффициентов
корреляции и детерминации
Оценки множественных коэффициентов корреляции детерминации рассчитываются по формулам:
ry/12 = (ry12+ ry22+ 2ry1ry2r12)/(1-r122)(1-ry22)]0,5 =0,999;
ry/122=0,9992=0,997.
9. Проверка значимости множественных коэффициентов
корреляции и детерминации
Проверим гипотезу H0: r2y/12 =0 по F-критерию. Наблюдаемое значение находится по формуле:
Fнабл= [r2y/12/(k-1)]/[(1-ry/12)/(n-k)]=[0,997/(3-1)]/[(1-0,997)/(10-3)]=1163.
По таблице F-распределения для a=0,05, n1=k-1=2, n2=n-k=7 находим Fкр=4,74. Так как Fнабл>Fкр, то гипотеза о равенстве r2y/12 =0 отвергается.
Аналогично осуществляется проверка гипотезы ry/12=0 (в данном примере опущено).
Тем самым доказана значимость множественного коэффициента корреляции, что говорит о наличии зависимости y от x1и x2, т.е. себестоимость действительно зависит от объема валовой продукции и производительности труда.
Литература к задаче 1
1. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Исследование зависимостей.–М.:Финансы и статистика, 1985
2. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичной обработки данных.–М.:Финансы и статистика, 1983
3. Львовский Е.Н. Статистические методы построения эмпирических формул.–М.:Высш.шк., 1988.
4. Шепелев И.Г. Математические методы и модели управления в строительстве.–М.:Высшая школа, 1980.
Задача 2
Динамическое программирование
Для увеличения объемов выпуска пользующейся повышенным спросом продукции, изготавливаемой тремя предприятиями, выделены капитальные вложения в объеме 700 млн.руб. Использование i-тым предприятием xi млн. руб. из указанных средств обеспечивает прирост выпуска продукции, определяемый значением нелинейной функции fi(xi).
Найти распределение капитальных вложений между предприятиями, обеспечивающее максимальное увеличение выпус6ка продукции.
Исходные данные приведены в таблицах 5 и 6.
Исходные данные
| Объем кап.вложений xi, млн.руб. | Прирост выпуска продукции fi(xi), млн.руб. | ||
| Предприятие 1 | Предприятие 2 | Предприятие 3 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 100 | а | 50 | 40 |
| 200 | 50 | 80 | d |
| 300 | b | 90 | 110 |
| 400 | 110 | 150 | 120 |
| 500 | 170 | с | 180 |
| 600 | 180 | 210 | 220 |
| 700 | 210 | 220 | 240 |
Таблица 6
Варианты исходных данных
| Вариант | a | b | c | d |
| 1 | 30 | 90 | 190 | 50 |
| 2 | 20 | 80 | 160 | 70 |
| 3 | 35 | 100 | 190 | 60 |
| 4 | 40 | 110 | 180 | 90 |
| 5 | 30 | 100 | 190 | 60 |
Окончание табл. 6
| Вариант | a | b | c | d |
| 6 | 35 | 80 | 160 | 70 |
| 7 | 40 | 80 | 160 | 70 |
| 8 | 40 | 100 | 190 | 60 |
| 9 | 30 | 110 | 160 | 90 |
| 10 | 40 | 110 | 190 | 90 |
| 11 | 20 | 100 | 190 | 60 |
| 12 | 20 | 80 | 180 | 60 |
| 13 | 35 | 110 | 190 | 50 |
| 14 | 40 | 90 | 160 | 50 |
| 15 | 30 | 90 | 190 | 90 |
| 16 | 35 | 90 | 160 | 70 |
| 17 | 40 | 90 | 190 | 50 |
| 18 | 20 | 90 | 150 | 90 |
| 19 | 20 | 80 | 190 | 60 |
| 20 | 20 | 110 | 160 | 70 |
| 21 | 40 | 90 | 190 | 60 |
| 22 | 30 | 110 | 190 | 55 |
| 23 | 35 | 90 | 180 | 70 |
| 24 | 45 | 85 | 170 | 90 |
| 25 | 40 | 85 | 170 | 50 |
В задаче необходимо:
1. Составить рекуррентное соотношение Беллмана в виде функциональных уравнений.
2. Используя рекуррентные соотношения и исходные данные определить сначала условно оптимальные, а затем оптимальные распределения капиталовложений между предприятиями.