Расширения полей (стр. 2 из 7)

Задача об освобождении от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби состоит в следующем. Пусть a — алгебраический элемент степени n>1 над полем P; f и h — полиномы из кольца полиномов P [x]и h(a)¹0. Требуется представить элемент f(a)/h(a)P(a) в виде линейной комбинации степеней элемента a,т. е. в виде j(a),

где jP[x].

Эта задача решается следующим образом. Пусть g— минимальный полином для a над P. Так как, по теореме 1.4, полином неприводим над Pи h(a) ¹ 0, то gне делит hи, значит, полиномы hи g — взаимно простые. Поэтому существуют в P[x]такие полиномы uи v, что

uh+vg=1 (1)

Поскольку g(a) = 0, из (1) следует, что

u(a)g(a) = 1, 1/h(a) = u(a).

Следовательно, f(a)/h(a) = f(a)u(a), причем f,uP[x] и f(a)u(a)P[a]. Итак, мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби f(a)/h(a) .

Пример.

Освободиться от иррациональности в знаменателедроби

.

Решение. В нашем случае a=

. Минимальным многочленом этого числа является

p(x)=x³-2.

Многочлены p(x) и g(x)=-x²+x+1 взаимно просты. Поэтому существуют такие многочлены j и y, что

pj+gy=1.

Для отыскания j и y применим алгоритм Евклида к многочленам p и g:

-x³-2 -x²+x+1 -x²+x+1 2x-1

x³-x²-x -x-1 -x²+1/2x -1/2x+1/4

x²+x-2 1/2x+1

x²-x-1 1/2x-1/4

2x-1 5/4

Таким образом,

p=g(-x-1)+(2x-1),

g=(2x-1)(-1/2x+1/4)+5/4.

Откуда находим

(2x-1)=p+g(x+1),

5/4=g-(p+g(x+1))(-1/2x+1/4)

или

p1/5(2x-1)+g(4/5+1/5(2x²+x-1))=1,

p1/5(2x-1)+g(2/5x²+1/5x+3/5)=1.

Таким образом,

y(x)= (2/5x²+1/5x+3/5).

Тогда

y(a)=y(

)=

.

Следовательно

.

2.Составное алгебраическое расширение поля.

2.1. Конечное расширение поля.

Пусть P — подполе поля F. Тогда мы можем рассматривать F как векторное пространство над P, т. е. рассматривать векторное пространство +F, +, {w_l½lP},,

где w_l- операция умножения элементов из Fнаскаляр lP.

Определение. Расширение F поля P называется конечным, если F, как векторное пространство над P, имеет конечную размерность. Эта размерность обозначается через [F : P].

Предложение 2.1. Если a — алгебраический элемент степени n над P, то [P (a):P]=n.

Это предложение непосредственно следует из теоремы 1.5.

Определение. Расширение F поля P называется алгебраическим, если каждый элемент из F является алгебраическим над P.

Теорема 2.2. Любое конечное расширение F поля Pявляется алгебраическим над P.

Доказательство. Пусть n-размерность F над P. Теорема, очевидно, верна, если n = 0. Предположим, что n>0. Любые n+1 элементов из Fлинейно зависимы над P. В частности, линейно зависима система элементов 1, a, ..., aⁿ, т. е. существуют в Pтакие элементы с₀, с_1,…,c_nне все равные нулю, что с₀×1+ с_1a+…+c_naⁿ= 0.

Следовательно, элемент a является алгебраическим над P.

Отметим, что существуют алгебраические расширения поля, не являющиеся конечными расширениями.

2.2. Составное алгебраическое расширение поля.

Расширение F поля Pназывается составным, если существует

возрастающая цепочка подполей Liполя F такая, что

P =L₀— L₁—…—L_k= F и k>1.

Теорема 2.3. ПустьF — конечное расширение поля L и L — конечное расширение поля P. Тогда F является конечным расширением поля P и

(I) [F : P]= [F :L]@[L:P].

Доказательство. Пусть

(1) a₁,…,a_m — базис поля Lнад P (как векторного пространства) и

(2) b₁,…,b_n— базис поля F над L. Любой элемент d из F можно линейно выразить через базис:

(3) d = l₁b₁+...+l_nb_n (l_kL).

Коэффициенты 1_kможно линейно выразить через базис (1):

(4) l_k = p_1ka +…+ p_mka_m (p_ikP).

Подставляя выражения для коэффициентов l_kв (3), получаем

d = å p_ika_ib_k.

^i{1,…,m}

^k{1,…,n}

Таким образом, каждый элемент поля F представим в виде линейной комбинации элементов множества B, где

B = {a_ib_k½{1,..., m},k {l,..., n}}.

Отметим, что множество Bсостоит из nmэлементов.

Покажем, что Bесть базис F над полем P. Нам надо показать, что система элементов множества Bлинейно независима. Пусть

(5) åc_ika_ib_k = 0,

^I,k

где c_ikP. Так как система (2) линейно независима над L,то из (5) следуют равенства

(6) с_1ka ₁+...+с_mka_m = 0 (k = 1,..., n).

Поскольку элементы a ₁, ..., a_mлинейно независимы над P,то из (6) следуют равенства

c_1k = 0,…,c_mk = 0 (k = 1, ..., n),

показывающие, что все коэффициенты в (5) равны нулю. Таким образом, система элементов Bлинейно независима и является базисом F над P.

Итак установлено, что [F, P] = nm= [F:L]×[L: P].Следовательно, Fявляется конечным расширением поля Pи имеет место формула (I).

Определение. Расширение F поля P называется составным алгебраическим, если существует возрастающая цепочка подполей поля P

P =L₀— L₁—…—L_k= F и k>1 (1)

такая, что при i = 1,..., k поле L_i является простым алгебраическим расширением поля L_i-1.Число k называется длиной цепочки (1).

Следствие 2.4.Составное алгебраическое расширение F поля P является конечным расширением поля P.

Доказательство легко проводится индукцией по длине цепочки (1) на основании теоремы 2.3.

Теорема 2.5. Пусть a₁,..., a_k — алгебраические над полем P элементы поля F . Тогда поле P(a₁,..., a_k) является конечным расширением поля P.

Доказательство. Пусть

L₀ = P, L₁ = P [a₁], L ₂=P [a₁, a₂,],..., L_k =P [a₁ ,..., a_k].

Тогда L₁ = P [a₁] есть простое алгебраическое расширение поля L₀; L₂ есть простое алгебраическое расширение поля L₁ , так как

L₂ = P [a₁,a₂] = (P [a₁])[a₂] = L₁[a₂] = L₁(a₂) и т. д.

Таким образом,

P =L₀—L₁—…—L_k= F

где L_i = L_i-1(a_i) при i = 1, ..., k, т. е. каждый член цепочки (2) является простым алгебраическим расширением предшествующего члена цепочки. Итак, поле Fявляется составным алгебраическим расширением поля P. Следовательно, в силу следствия 2.4 поле F является конечным расширением поля P .

Следствие 2.6. Составное алгебраическое расширение поля является алгебраическим расширением этого поля.

2.3. Простота составного алгебраического расширения поля.

Теорема 2.7. Пусть числовое поле F есть составное алгебраическое расширение поля P . Тогда F является простым алгебраическим расширением поля P.

Доказательство. Пусть P—L—F , причем L = P(a), F = L(b)и, следовательно, F = P(a, b).

Пусть f и g — минимальные полиномы над Pсоответственно для чисел a и b и degf = m, degg = n. Полиномы f и gнеприводимы над P и, следовательно, не имеют в поле Eкомплексных чисел кратных корней. Пусть

a = a₁ ,..., a_m — корни полинома f в C и

b = b₁ ,..., b_n— корни полинома gв C.

Рассмотрим конечное множество М:

M = {(a_i-a)/(b-b_k)½i0{1,…,m}, k0{2,…,n}}.

Поскольку P — числовое множество (и, значит, бесконечное), то в Pсуществует число c, отличное от элементов множества М, c0P(М,cóМ. Пусть