Расширения полей (стр. 3 из 7)

(1) g = a + cb.

Тогда выполняются соотношения

(2) g¹a_i +cb_k = (i0{1,..., m}, k0{2, ..., n}).

В самом деле, в случае равенства a +сb = a_i+сb_k было бы

с = (a_i-a)/(b-b_k) 0 M

что противоречило бы выбору числа c.

Пусть F₁ = P (g) и F₁ — кольцо полиномов от x. Пусть h= f(g - cx) — полином из F₁[x] (g, c0P(g) = F₁). Покажем, что x-b есть наибольший общий делитель полиномов hи gв кольце F₁[x].Так как g(b) = 0, то x-b делит gв E[x].Далее, в силу (1)

h(b) = f(g-cb) = f(a) = 0.

Поэтому x-b делит полином h в E[x].Таким образом, x-b есть общий делитель hи gв кольце E[x].

Докажем, что gи h в С не имеет корней, отличных от b. В самом деле, допустим, что b_k, k0{2 ,..., n},есть их общий корень. Тогда h(b_k) = f(g - сb_k) = 0. Следовательно, найдется такой индекс i0{1 ,..., m},что g = a_i+cb_k(k>1), а это противоречит (2). На основании этого заключаем, что x-b есть наибольший общий делитель gи h в E[x].Поскольку x - b — нормированный полином, то отсюда следует, что x - b является наибольшим общим делителем g и hв кольце F₁[x]. Поэтому

(x-b) 0F₁[x] и b0F₁ = P(g).

Кроме того, a = g - cb0F₁. Таким образом,

F = P(a, b)Ì F₁, F₁ÌF.

Следовательно, F = P(g). Далее, так как g (как и всякий элемент из F) есть алгебраический элемент над Pи F = P (g), то поле F =P (g)является искомым простым алгебраическим расширением поля P.

2.4. Поле алгебраических чисел.

В классе подполей поля комплексных чисел одним из наиболее важных является поле алгебраических чисел.

Определение. Алгебраическим числом называется комплексное число, являющееся корнем полинома положительной степени с рациональными коэффициентами.

Отметим, что алгебраическое число есть любое комплексное число, алгебраическое над полем Q. В частности, любое рациональное число является алгебраическим.

Теорема 2.8. Множество A всех алгебраических чисел замкнуто в кольце E = +С, +, —, •, 1, комплексных чисел. Алгебра A = +А, +, —, •, 1, является полем, подполем поля E.

Доказательство. Пусть aи b — любые элементы из А. По следствию 2.6, поле Q(a, b)является алгебраическим над Q. Поэтому числа a+b, -а, ab, 1 являются алгебраическими, т. е. принадлежат множеству A. Таким образом, множество А замкнуто относительно главных операций кольца E. Поэтому алгебра A — подкольцо кольца E — является кольцом.

Кроме того, если a —ненулевой элемент из А, то a^-10Q (a, b)и поэтому а^-1принадлежит А. Следовательно, алгебра Aесть поле, подполе поля E.

Определение. Поле A = +А, +, —, •, 1,называется полем алгебраических чисел.

Пример.

Показать, что число a=

является алгебраическим.

Решение. Из a=

следует a-

.

Возведем обе части последнего равенства в третью степень:

a³-3a²

9a-3

=2

или

a³ +9a-2=3

(a²+1).

Теперь обе части равенства возводим во вторую степень:

a⁶+18a⁴+81a²-4a³-36a+4=27a⁴+54a²+27

или

a⁶-9a⁴-4a³+27a²-36a-23=0.

Таким образом a является корнем многочлена

f(x)=a⁶-9a⁴-4a³+27a²-36a-23=0

с рациональными коэффициентами. Это значит что a — алгебраическое число.

2.5. Алгебраическая замкнутость поля алгебраических чисел.

Теорема 2.9. Поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто.

Доказательство. Пусть A[x]— кольцо полиномов от xнад полем Aалгебраических чисел. Пусть

f = а₀ + а₁x+... + а_nхⁿ (а₀ ,…, а_n 0A)

— любой полином положительной степени из A[x]. Нам надо доказать, что f имеет корень в А. Так как f0C[x] и поле E алгебраически замкнуто, то f имеет корень в E т. е. существует такое комплексное число с, что f(с) = 0. Пусть L= Q(а₀, ..., а_n) и L (с) —простое алгебраическое расширение поля Lс помощью с. Тогда Q—L—L (c) есть конечное алгебраическое расширение поля L. По теореме 2.2, Lесть конечное расширение поля Q. В силу теоремы 2.3 L (с)является конечным расширением поля Q. Отсюда, по теореме 2.2, следует, что поле L(с)является алгебраическим расширением поля Q и, значит, c0A. Таким образом, любой полином из A[x]положительной степени имеет в A корень, т. е. поле A алгебраически замкнуто.

3. Сепарабельные и несепарабельные расширения.

Пусть D — поле.

Выясним, может ли неразложимый в D[x] многочлен обладать кратными корнями?

Для того чтобы f(x) обладал кратными корнями, многочлены f(x) и fN(x) должны иметь общий отличный от константы множитель, который можно вычислить уже в D[x]. Если многочлен f(x) неразложим, то ни с каким многочленом меньшей степени f(x) не может иметь непостоянных общих множителей, следовательно, должно иметь место равенство f '(x) = 0.

Положим

_{n n}

f(x) =3a_nxⁿfN(x) =3na_nx^n-1

^{0 1}

Так как fN(x) = О, в нуль должен обращаться каждый коэффициент:

na_n = 0 (n = l, 2, ..., n).

В случае характеристики нуль отсюда следует, что a_n = 0 для всех n¹ 0. Следовательно, непостоянный многочлен не может иметь кратных корней. В случае же характеристики p равенства na_n = 0 возможны и для n¹ 0, но тогда обязаны выполняться сравнения

nº0(p).

Таким образом, чтобы многочлен f(x) обладал кратными корнями, все его слагаемые должны обращаться в нуль, за исключением тех a_nxⁿ, для которых nº0(p), т. е. f(x) должен иметь вид

f(x) = a₀+a_px^p+a_2px^2p+…

Обратно: если f(x) имеет такой вид, то fN(x)=0.

В этом случае мы можем записать:

f(x) = j(x^p).

Тем самым доказано утверждение: В случае характеристики нуль неразложимый в D [x] многочлен f (x) имеет только простые корни, в случае оке характеристики p многочлен f(x) (если он отличен от константы) имеет кратные корни тогда и только тогда, когда его можно представить как многочлен j от x^p.

В последнем случае может оказаться, что j(x) в свою очередь является многочленом от x^p. Тогда f(x) является многочленом от x^p2. Пусть f(x) — многочлен от x^pe

f(x) = y( x^pe),

но не является многочленом от x^pe+1. Разумеется, многочлен y(у) неразложим. Далее, y¢(у) ¹ 0, потому что иначе y(у) имел бы вид c(у^р) и, следовательно, f(x) представлялся бы в виде c(х^pе+1), что противоречит предположению. Следовательно, y(у) имеет только простые корни.

Разложим многочлен y(у) в некотором расширении основного поля на линейные множители: _m

y(y) = J(y-b_i).

¹

Тогда

_m

f(x) = J( x^pe -b_i)

¹

Пусть a_i— какой-нибудь корень многочлена x^pe -b_i. Тогда x_i^pe = b_i,

x^pe -b_i = x^pe – a_i^pe = (x-a_i) ^pe.

Следовательно, a_i является р^е-кратным корнем многочлена x^pe -b_i и

_m

f(x) = J( x -a_i) р^е.

¹

Все корни многочлена f(x) имеют, таким образом, одну и ту же кратность р^е.

Степень m многочлена y называется редуцированной степенью многочлена f(x) (или корня a_i); число e называется показателем многочлена f (x) (или корня a_i) над полем D. Между степенью, редуцированной степенью и показателем имеет место соотношение

n = m р^е,

где m равно числу различных корней многочлена f(x).

Если q — корень неразложимого в кольце D[x] многочлена, обладающего лишь простыми корнями, то q называется сепарабельным элементом над D или элементом первого рода над D¹). При этом неразложимый многочлен, все корни которого сепарабельны, называется сепарабельным. В противном случае алгебраический элемент q и неразложимый многочлен f(x) называются несепарабельными или элементом (соответственно, многочленом) второго рода. Наконец, алгебраическое расширение S, все элементы которого сепарабельны над D, называется сепарабельным над D, а любое другое алгебраическое расширение называется несепарабельным.