Синтез оптимальных уравнений (стр. 7 из 9)
Теперь можно уточнить постановку задачи.
Линейной задачей оптимального управления мы будем называть задачу об отыскании оптимальных быстродействий в случае, когда выполнены следующие три условия:
1 ) уравнения движения объекта линейны (см. (2.1) или (2.5));
2 ) предписанное конечное состояние x1 совпадает с началом координат (0, 0,…, 0) n-мерного фазового пространства переменных x1, x2,…,xn;
3 ) область управления U является r-мерным выпуклым многогранником в r-мерном пространстве (u1, u2,…, ur), причём начало координат этого пространства принадлежит многограннику U, но не является его вершиной.
Заметим, что начало координат xi=0, i=1,…,n, является положением равновесия системы
(2.8)получающейся из системы (2.1) отбрасыванием управлений (т. е. получающейся из (2.1) при u1=u2=…=ur=0). Таким образом, условие 2) означает, что ищется управление, переводящее объект из заданного начального состояния x0 в положение равновесия.
10. Принцип максимума. В пункте 6 мы сформулировали необходимое условие оптимальности, называемое принципом максимума. Данный пункт посвящён принципу максимума в случае линейной задачи оптимального управления. Вначале укажем те упрощения в формулировке принципа максимума, которые возникают в этом частном случае (т. е. в случае линейной задачи оптимального управления).
Заметим, прежде всего, что функция H (см. формулу (B) на стр. 10) принимает вид
(2.9)(Здесь в правой части записаны скалярные произведения; например, ψAx есть скалярное произведение векторов ψ и Ax.)
Далее, рассмотрим систему дифференциальных уравнений для вспомогательных переменных ψ1, ψ2,…, ψn (см. формулу (C) на стр. 10). Мы имеем
Следовательно, система уравнений для вспомогательных переменных принимает вид
(2.10)т. е. представляет собой так называемую сопряжённую систему (по отношению к линейной системе (2.8)). В векторной форме система (2.10) записывается в виде
(2.11)где
─ матрица, получающаяся из матрицы Aтранспонированием (т. е. заменой строк столбцами).
Так как в правой части соотношения (2.9) первое слагаемое совсем не зависит от u, то при написании соотношения (D) (см. стр. 11) достаточно рассмотреть лишь второе слагаемое. Таким образом, соотношение (D) принимает в рассматриваемом случае вид
(2.12)для любого момента τ, t0≤τ≤t1.
Наконец, соотношение (E) (стр. 11) становится просто ненужным, так как в рассматриваемом случае оно всегда выполняется. Действительно, так как x(t1)=(0, 0,…, 0) (условие 2) на стр. 15), то в H(ψ(t1), x(t1), u(t1)) первое слагаемое обращается в нуль (см. (2.9)). Второе же слагаемое, в силу (2.12), заведомо неотрицательно, ибо при u1=…=ur=0 (эта точка, в силу условия 3) на стр.15, принадлежит многограннику U) мы имеем ψ(τ)Bu=0, а потому максимальное значение выражения ψ(τ)Bu неотрицатнльно. Итак, соотношение H(ψ(t1), x(t1), u(t1))³0 для линейной оптимальной задачи всегда выполнено.
Сказанное можно резюмировать следующим образом. Пусть u(t), t0£t£t1, - допустимое управление, переводящее объект (2.5) из заданного начального состояния x0 в положение равновесия (0, 0,…, 0). Будем говорить, что управление u(t) удовлетворяет принципу максимума, если существует такое нетривиальное решение y(t) уравнения (2.11), для которого выполняется условие максимума (2.12) (в каждый момент времени t, t0£t£t1). Для оптимальности управления u(t) необходимо, чтобы оно удовлетворяло принципу максимума. Это и есть та упрощённая формулировка принципа максимума, к которой мы приходим в случае линейной задачи оптимального управления.
11. Принцип максимума — необходимое и достаточное условие оптимальности. Замечательным фактом является то, что в случае линейной задачи оптимального управления принцип максимума представляет собой не только необходимое, но и достаточное условие оптимальности. Однако факт этот имеет место не для произвольной линейной задачи — имеются малосущественные исключения. Поэтому мы наложим на линейную задачу некоторое ограничение, называемое условием общности положения. Сформулируем это условие:
Условие общности положения: если w — вектор, параллельный произвольному ребру многогранника U, то вектор Bw не принадлежит никакому собственному инвариантному подпространству относительно преобразования A. Невыполнение условия общности положения означает, что хотя бы для одного ребра многогранника U векторы Bw, ABw, A2Bw,…, An-1Bw линейно зависимы, т. е. определитель n-го порядка, составленный из координат этих векторов, обращается в нуль. Однако всюду в дальнейшем условие общности положения предполагается (если не оговорено противное) выполненным.
Теперь перейдём к теореме, упоминавшейся в начале этого пункта.
Т е о р е м а 2.1. Пусть u(t), t0£t£t1, — допустимое управление, переводящее объект из заданного начального состояния x0 в положение равновесия (0, 0,…, 0). Для оптимальности управления u(t) необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло принципу максимума.
12. Основные теоремы о линейных оптимальных быстродействиях.
Т е о р е м а 2.2. Для каждого нетривиального решения y(t) уравнения (2.11) соотношение (2.12) однозначно определяет допустимое управление u(t); при этом оказывается, что функция u(t) кусочно-постоянна и её значениями являются лишь вершины многогранника U.
Каждую точку разрыва оптимального управления мы будем называть точкой переключения.
Т е о р е м а 2.3. Предположим, что многогранник U является r-мерным параллелепипедом (2.2) и что все собственные значения матрицы A=(aij), составленной из коэффициентов уравнений (2.1), действительны. Тогда в оптимальном управлении u(t)=(u1(t),…, ur(t)) каждая из функций ub(t), b=1,…,r, кусочно-постоянна, принимает только значения ab и bb(см. (2.2)) и имеет не более n-1 переключений (т. е.не более n интервалов постоянства), где n — порядок системы (2.1).
Т е о р е м а 2.4 (т е о р е м а е д и н с т в е н н о с т и). Пусть u1(t) и u2(t) — два оптимальных управления, заданных соответственно на отрезках t0£t£t1и t0£t£t2и переводящих точку x0 в начало координат. Тогда эти управления совпадают, т. е.t1=t2иu1(t)ºu2(t) на отрезке t0£t£t1.
Областью управляемости для объекта (2.5)мы будем называть множество всех точек x0фазового пространства X, из которых возможно при помощи какого-либо допустимого управления попасть в начало координат. Само начало координат мы также будем причислять к области управляемости. Ясно, что вопрос о нахождении оптимальных процессов разумно ставить лишь в случае, если начальное фазовое состояние x0 принадлежит области управляемости (ведь из точек, не принадлежащих области управляемости, вообще нельзя попасть в начало координат).
Т е о р е м а 2.5 (т е о р е м а с у щ е с т в о в а н и я). Область управляемости является выпуклым открытым множеством фазового пространства X; для любой точки x0, принадлежащей области управляемости, существует оптимальное управление, переводящее точку x0 в начало координат.
Т е о р е м а 2.6. Если в линейной задаче оптимального управления матрица A (см. (2.3)) устойчива, т. е. все её собственные значения имеют отрицательные действительные части, то область управляемости совпадает со всем фазовым пространством X. Следовательно, для любой точки x0ÎX существует оптимальное управление, переводящее фазовую точку x0 в начало координат.