§ 5. Решение задачи синтеза для линейных задач второго порядка
13. Упрощение уравнений линейного управляемого объекта. Нередко бывает, что в линейной задаче общая запись уравнений движения объекта в виде (2.1) неудобна и целесообразно воспользоваться некоторыми упрощениями. Мы здесь отметим стандартные упрощения, которые можно осуществить с помощью замены координат.
- Прежде всего, рассмотрим вопрос о замене координат в фазовом пространстве X рассматриваемого управляемого объекта. Предположим, что в пространстве X вместо координат x1,…, xn введены новые координаты y1,…, yn, связанные с прежними координатами соотношениями
(где матрицы P=(pij) и Q=(qij) взаимно обратны). Ясно, что при такой замене линейная система (2.1) превращается в новую линейную систему
коэффициенты которой легко вычисляются:
Таким образом,
Переходя к векторным обозначениям, можно сказать, что указанная замена координат переводит уравнение (2.5) в уравнение
Очевидно, при такой замене условия 1), 2), указанные на стр. 15, сохраняются и для уравнения
Таким образом, если уравнение
- Предположим, что в уравнении
С этой целью положим
Это означает, что вместо r управляющих параметров u1,…,ur вводятся n других управляющих параметров v1,…, vn, благодаря чему система (2.1) заменяется следующей:
или в векторной форме,
Нужно только выяснить, в каких пределах может изменяться точка v=(v1, v2,…, vn). Удобно считать, что эта точка v=(v1, v2,…, vn) расположена в том же пространстве X, что и точка x=(x1,…, xn).
Соотношения (2.14) определяют линейное отображение r-мерного пространства переменных u1,…,ur в фазовое пространство X. Образом многогранника U при отображении (2.14) является некоторый выпуклый многогранник в пространстве X, который мы обозначим через V.
Таким образом, получаем два линейных уравнения:
Г л а в а III
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 6. Решение задачи синтеза в случае комплексных собственных значений
14. Задача синтеза для малых колебаний маятника. Здесь будет дано полное решение задачи синтеза оптимальных управлений для линейных объектов, описываемых уравнениями второго порядка. Фазовое пространство X в этом случае представляет собой плоскость.
Рассмотрим колебание плоского маятника. Как известно колебание маятника, подвешенного к точке опоры, описывается дифференциальным уравнением второго порядка:
при малых колебаниях маятника Sinφ≈φ тогда уравнение движения маятника запишется в виде:
Управляющий параметр u (скалярный) будем предполагать изменяющимся в пределах -1£u£1.
Пусть
На плоскости x1, x2 «многогранник» U будет представляться отрезком [-1, 1], расположенным на оси x2. Легко видеть, что ось x2 не является собственным инвариантным подпространством матрицы A, которая для системы (3.2) имеет вид:
A=
и потому условие общности положения всегда выполнено.
Найдём собственные значения матрицы A. Для этого составим характеристическое уравнение |λE─A|=0, т. е. λ2+λ+1=0. Откуда находим, что собственные значения матрицы A такие:
т. е. собственные значения матрицы A комплексные. Введём обозначения
Тогда матрица A преобразуется к виду:
Будем рассматривать систему, соответствующую матрице
Вначале рассмотрим соответствующую однородную систему:
Общее решение этой системы имеет вид:
где c, γ – произвольные постоянные интегрирования.
Запишем функцию H и применим принцип максимума.
где ψ1, ψ2определяются системой, сопряжённой к системе (3.3), т. е. системой вида:
Общее решение этой системы имеет вид:
где c’, γ’ – произвольные постоянные интегрирования. Т. е. функция H имеет вид:
Подставим в функцию H представление решений x1, x2:
Т. к. собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению l имеет вид q1─iq2, где q1=(1;─1/2); q2=(0;─
Пусть q1 и q2 – базисные векторы новой косоугольной системы координат y1, y2. Тогда переход от системы y1, y2 к системе x1, x2 выражается формулами:
Тогда в новых координатах система уравнений (3.2) запишется в виде