Уравнение Кортевега - де Фриса, солитон, уединенная волна (стр. 3 из 5)

После расчетов и поиска аналогий эти ученые установили, что уравнение, которое использовали Ферми, Паста и Улам, при уменьшении расстояния между грузиками и при неограниченном росте их числа переходит в уравнение Кортевега—де Фриса. То есть по существу задача, предложенная Ферми, сводилась к численному решению уравнения Кортевега—де Фриса, предложенного в 1895 году для описания уединенной волны Рассела. Примерно в те же годы было показано, что для описания ионно-звуковых волн в плазме используется также уравнение Кортевега—де Фриса. Тогда стало ясно, что это уравнение встречается во многих областях физики и, следовательно, уединенная волна, которая описывается этим уравнением, является широко распространенным явлением.

Продолжая вычислительные эксперименты по моделированию распространения таких волн, Крускал и Забуски рассмотрели их столкновение. Остановимся подробнее на обсуждении этого замечательного факта. Пусть имеются две уединенные волны, описываемые уравнением Кортевега—де Фриса, которые различаются амплитудами и движутся друг за другом в одном направлении (рис. 2). Из формулы для уединенных волн (8) следует, что скорость движения таких волн тем выше, чем больше их амплитуда, а ширина пика уменьшается с ростом амплитуды. Таким образом, высокие уединенные волны движутся быстрее. Волна с большей амплитудой догонит движущуюся впереди волну с меньшей амплитудой. Далее в течение некоторого времени две волны будут двигаться вместе как единое целое, взаимодействуя между собой, а затем они разъединятся. Замечательным свойством этих-волн является то, что после своего взаимодействия форма и

Рис. 2. Два солитона, описываемые уравнением Кортевега-де Фриса,

до взаимодействия (вверху) и после (внизу)

скорость этих волн восстанавливаются. Обе волны после столкновения лишь смещаются на некоторое расстояние по сравнению с тем, как если бы они двигались без взаимодействия.

Процесс, у которого после взаимодействия волн сохраняются форма и скорость, напоминает упругое столкновение двух частиц. Поэтому Крускал и Забуски такие уединенные волны назвали солитонами (от англ. solitary- уединенный). Это специальное название уединенных волн, созвучное электрону, протону и многим другим элементарным частицам, в настоящее время общепринято.

Уединенные волны, которые были открыты Расселом, и в самом деле ведут себя как частицы. Большая волна не проходит через малую при их взаимодействии. Когда уединенные волны соприкасаются, то большая волна замедляется и уменьшается, а волна, которая была малой, наоборот, ускоряется и подрастает. И когда малая волна дорастает до размеров большой, а большая уменьшается до размеров малой, солитоны разделяются и больший уходит вперед. Таким образом, солитоны ведут себя как упругие теннисные мячи.

Дадим определение солитона [4]. Солитоном называется нелинейная уединенная волна, которая сохраняет свою форму и скорость при собственном движении и столкновении с себе подобными уединенными волнами, то есть представляет собой устойчивое образование. Единственным результатом взаимодействия солитонов может быть некоторый сдвиг фаз.

Открытия, связанные с уравнением Кортевега - де Фриса, не закончились открытием солитона. Следующим важным шагом, имеющим отношение к этому замечательному уравнению, было создание нового метода решения нелинейных уравнений в частных производных. Хорошо известно, что найти решения нелинейных уравнений очень сложно. До 60-х годов нашего столетия считалось, что такие уравнения могут иметь только некоторые частные решения, удовлетворяющие специально заданным начальным условиям. Однако уравнение Кортевега—де Фриса и в этом случае оказалось в исключительном положении.

В 1967 году американские физики К.С. Гарднер, Дж.М. Грин, М. Крускал и Р. Миура показали, что решение уравнения Кортевега—де Фриса может быть в принципе получено для всех начальных условий, которые определенным образом обращаются в нуль при стремлении координаты к бесконечности. Они использовали преобразование уравнения Кортевега - де Фриса к системе двух уравнений, называемой теперь парой Лакса (по имени американского математика Питера Лакса, внесшего большой вклад в развитие теории солитонов), и открыли новый метод решения ряда очень важных нелинейных уравнений в частных производных. Этот метод получил название метода обратной задачи рассеяния, поскольку в нем существенно используется решение задачи квантовой механики о восстановлении потенциала по данным рассеяния.

2.2. Групповой солитон

Выше мы говорили, что на практике волны, как правило, распространяются группами. Подобные группы волн на воде люди наблюдали с незапамятных времен. На вопрос о том, почему для волн на воде так типичны "стаи" волн, удалось ответить Т. Бенжамену и Дж. Фейеру только в 1967 году. Теоретическими расчетами они показали, что простая периодическая волна на глубокой воде неустойчива (теперь это явление называется неустойчивостью Бенжамена—Фейера), и поэтому волны на воде из-за неустойчивости разбиваются на группы. Уравнение, с помощью которого описывается распространение групп волн на воде, было получено В.Е. Захаровым в 1968 году. К тому времени это уравнение уже было известно в физике и носило название нелинейного уравнения Шрёдингера. В 1971 году В.Е. Захаров и А.Б. Шабат показали, что это нелинейное уравнение имеет решения также в виде солитонов, более того, нелинейное уравнение Шрёдингера, так же как и уравнение Кортевега—де Фриса, может быть проинтегрировано методом обратной задачи рассеяния. Солитоны нелинейного уравнения Шрёдингера отличаются от обсуждаемых выше солитонов Кортевега—де Фриса тем, что они соответствуют форме огибающей группы волн. Внешне они напоминают модулированные радиоволны. Эти солитоны называются групповыми солитонами, а иногда солитонами огибающей. Это название отражает сохраняемость при взаимодействии огибающей волнового пакета (аналог штриховой линии, представленной на рис. 3), хотя сами волны под огибающей двигаются со скоростью, отличной от групповой. При этом форма огибающей описывается

Рис. 3. Пример группового солитона (штриховая линия)

зависимостью

a(x,t)=a₀ ch^-1(

)

где а_а - амплитуда, а l— половина размера солитона. Обычно под огибающей солитона находится от 14 до 20 волн, причем средняя волна самая большая. С этим связан хорошо известный факт, что самая высокая волна в группе на воде находится между седьмой и десятой (девятый вал). Если в группе волн образовалось большее количество волн, то произойдет ее распад на несколько групп.

Нелинейное уравнение Шрёдингера, как и уравнение Кортевега— де Фриса, также имеет широкую распространенность при описании волн в различных областях физики. Это уравнение было предложено в 1926 году выдающимся австрийским физиком Э. Шрёдингером для анализа фундаментальных свойств квантовых систем [4] и первоначально использовано при описании взаимодействия внутриатомных частиц. Обобщенное или нелинейное уравнение Шрёдингера описывает совокупность явлений в физике волновых процессов. Например, оно используется для описания эффекта самофокусировки при воздействии мощного лазерного луча на нелинейную диэлектрическую среду и для описания распространения нелинейных волн в плазме.

3. Постановка задачи

3.1. Описание модели.В настоящее время наблюдается значительно возрастающий интерес к исследованию нелинейных волновых процессов в различных областях физики (например, в оптике, физике плазмы, радиофизике, гидродинамике и т.д.). Для изучения волн малой, но конечной амплитуды в дисперсионных средах в качестве модельного уравнения часто используют уравнение Кортевега-де Фриза (КдФ):

u_t + ии_х + bи_ххх = 0(3.1)

Уравнение КдФ было использовано для описания магнитозвуковых волн, распространяющихся строго поперек магнитного поля или под углами, близкими к

.

Основные предположения, которые делаются при выводе уравнения: 1) малая, но конечная амплитуда, 2) длина волны велика по сравнению с длиной дисперсии.

Компенсируя действие нелинейности, дисперсия дает возможность формироваться в дисперсионной среде стационарным волнам конечной амплитуды - уединенным и периодическим. Уединенные волны для уравнения КдФ после работы [8] стали называться солитонами [9]. Периодические волны носят название кноидальных волн. Соответствующие формулы для их описания даны в [4].

3.2. Постановка дифференциальной задачи.В работе исследуется численное решение задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза с периодическими условиями по пространству в прямоугольнике Q_T={(t,x):0<t<T, x Î[0,l].

u_t + ии_х + bи_ххх = 0(3.2)

u(x,t)|_x=0=u(x,t)|_x=l (3.3)

с начальным условием

u(x,t)|_t=0=u₀(x) (3.4)

4. Свойства уравнения Кортевега - де Фриза

4.1. Краткий обзор результатов по уравнению КдФ.Задача Коши для уравнения КдФ при различных предположениях относительно u₀(х) рассматривалась во многих работах [10-17]. Задача о существовании и единственности решения с условиями периодичности в качестве краевых условий была решена в работе [10] с помощью метода конечных разностей. Позже, при менее сильных предположениях, существование и единственность были доказана в статье [11] в пространстве L^¥(0,T,H^s(R¹)), где s>3/2, а в случае периодической задачи - в пространстве L^¥(0,T,H^¥(C))где С - окружность длины, равной периоду, на русском языке эти результаты представлены в книге [12].