Уравнение Кортевега - де Фриса, солитон, уединенная волна (стр. 4 из 5)

Случай, когда не предполагается какая-либо гладкость начальной функции u₀ÎL₂(R¹), рассмотрен в работе [13]. Там вводится понятие обобщенного решения задачи (3.2),(3.4), устанавливается существование обобщенного решения и(t,х)ÎL^¥(0,T,L²(R¹)) в случае произвольной начальной функции u₀ÎL₂(R¹); при этом и(t,х) ÎL²(0,Т;H^-1(-r,r)) для любого r>0, и если для некоторого a > 0 (x^au₀²(x)) ÎL¹(0,+¥), то

(4.1)

Используя обращение линейной части уравнения при помощи фундаментального решения G(t,x) соответствующего линейного оператора

, вводится класс корректности задачи (3.2),(1.4) и устанавливаются теоремы единственности и непрерывной зависимости решений этой задачи от начальных данных. Также исследуются вопросы регулярности обобщенных решений. Одним из основных результатов является достаточное условие существования непрерывной по Гельдеру при t > 0 производной в терминах существования моментов для начальной функции, для любых k и l.

Задача Коши для уравнения КдФ исследовалась также методом обратной задачи рассеяния, предложенном в работе [14]. При помощи этого метода были получены результаты о существовании и гладкости решений при достаточно быстро убывающих начальных функциях, причем в [15] установлен, в частности, результат о разрешимости задачи (3.2),(3.4) в пространстве C^¥(О, Т; S(R¹)).

Наиболее полный обзор современных результатов по уравнению КдФ можно найти в [16].

4.2. Законы сохранения для уравнения КдФ. Как известно, для уравнения КдФ существует бесконечное число законов сохранения. В работе [17] приводится строгое доказательство этого факта. В работах [11], [12] различные законы сохранения применялись для доказательства нелокальных теорем существования решения задачи (3.2),(3.4) из соответствующих пространств.

Продемонстрируем вывод первых трех законов сохранения для задачи Коши на R¹ и периодической задачи.

Для получения первого закона сохранения достаточно проинтегрировать уравнения (3.2) по пространственной переменной. Получим:

отсюда и следует первый закон сохранения:

Здесь в качестве a и b выступают +¥ и -¥ для задачи Коши и границы основного периода для периодической задачи. Поэтому второе и третье слагаемые обращаются в 0.

(4.2)

Для вывода второго закона сохранения следует умножить уравнение (3.2) на 2 u(t,x) и проинтегрировать по пространственной переменной. Тогда, используя формулу интегрирования по частям получим:

но в силу "краевых" условий все слагаемые кроме первого опять сокращаются

Таким образом второй интегральный закон сохранения имеет вид:

(4.3)

Для вывода третьего закона сохранения нужно умножить наше уравнение (3.2) на (и² + 2b и_хх), таким образом получим:

После применения несколько раз интегрирования по частям третий и четвертый интегралы сокращаются. Второе и третье слагаемые исчезают из-за граничных условий. Таким образом из первого интеграла получаем:

что эквивалентно

(4.4)

А это и есть третий закон сохранения для уравнения (3.2). Под физическим смыслом первых двух интегральных законов сохранения в некоторых моделях можно понимать законы сохранения импульса и энергии, для третьего и последующих законов сохранения физический смысл охарактеризовать уже труднее, но с точки зрения математики эти законы дают дополнительную информацию о решении, которая используется потом для доказательств теорем существования и единственности решения, исследования его свойств и вывода априорных оценок.

5. Разностные схемы для решения уравнения КдФ

3.1. Обозначения и постановка разностной задачи. В области

={(x,t):0£x£l,0£t£T} обычным образом введем равномерные сетки, где

Введем линейное пространство W_h сеточных функций, определенных на сетке

со значениями в узлах сетки y_i=y^h(x_i). Предполагается, что выполнены условия периодичности y₀=y_N. Кроме того, формально полагаем y_i+N=y_i для i³ 1.

Введем скалярное произведение в пространстве W_h

(5.1)

Снабдим линейное пространство П/г нормой:

Поскольку в пространство W_h входят периодические функции, то это скалярное произведение эквивалентно скалярному произведению:

Будем строить разностные схемы для уравнения (3.2) на сетке с периодическими краевыми условиями. Нам потребуются обозначения разностных аппроксимаций. Введем их.

Используем стандартные обозначения для решения уравнения на очередном (n-м) временном слое, то есть

Введем обозначения для разностных аппроксимаций производных. Для первой производной по времени:

Аналогично для первой производной по пространству:

Теперь введем обозначения для вторых производных:

Третью пространственную производную будем аппроксимировать следующим образом:

Также нам потребуется аппроксимация у², которую мы обозначим буквой Q и введем следующим образом:

(5.2)

Для записи уравнения на полу целых слоях будем использовать уравновешенную аппроксимацию, т.е.

за исключением аппроксимации у² на полу целом слое. Приведем одну из возможных аппроксимаций у²на полу целом слое:

Замечание 2. Стоит отметить, что для

₁выполняется равенство:

Определение 1.Следуя [19] разностную схему для уравнения КдФ будем называть консервативной, если для нее имеет место сеточный аналог первого интегрального закона сохранения, справедливого для дифференциальной задачи.

Определение 2.Следуя [19] разностную схему для уравнения КдФ будем называть L₂-консервативной, если для нее имеет место сеточный аналог второго интегрального закона сохранения, справедливого для дифференциальной задачи.

5.2. Явные разностные схемы (обзор). При построении разностных схем будем ориентироваться на простейшую разностную схему из работы [19] для линеаризованного уравнения КдФ, которое сохраняет свойства самого уравнения КдФ в смысле двух первых законов сохранения.

(5.3)

Исследуем теперь схему (5.4) на свойства консервативности. Выполнение первого закона сохранения очевидно. Достаточно просто умножить это уравнение скалярно на 1. Тогда второе и третье слагаемые схемы (5.4) дадут 0, а от первого останется: