Отсюда следует, что – yk и (xk + yk) – одного знака. Вновь получаем, что уk = –λkxk , 0≤λk≤1. При этом
.
, 0 ≤ λ, λk ≤ 1}.
2.4. Общий случай. Для произвольного элемента х = (x1, ..., xn) и круглого регулярного конуса Kj (1) имеем:
где 
.3. Нахождение расстояния от элемента до конуса
Пусть элемент x принадлежит конусу К1, т.е. х1 ≥ X. В этом случае d(x, K1) = 0, а ближайшим элементом конуса является он сам.
Пусть элемент х принадлежит конусу – К1, т.е. -х1 ≥ X. В этом случае очевидно d(x, K1) = ||х||, а ближайшим элементом конуса является ноль.
Пусть х1 = 0 и элемент х не принадлежит конусу ±К1. Покажем, что d(x, K1) = ||х–||, а ближайшим элементом конуса является х+. Согласно следствию 2.2.13 [5], для этого необходимо найти функционал f Î К*1 такой, что ||f|| = 1, f(x+) = 0, f(x-) = ||x-||,
где x+ – x- = x, ||x+ + x-|| = ||x||.
В качестве такого функционала выберем f=(1, –sgn x2, ...,–sgn xn). Для любого элемента конуса аÎК1 справедливо f(а)=a1 –
, т. е. f положительный функционал. Очевидно, что его норма равна единице. Элементы x+ и x–, вычисляемые по формулам 2.1, удовлетворяют условиям следствия 2.2.14 [5]. Кроме того, 
, 
.Учитывая, что ||x–|| =
|| (Х, x2, ... , хn)|| = X, имеем, что f(x-) = =||x-||. Таким образом, условия следствия 2.2.14 [5] выполняются полностью, и мы приходим к выводу, чтоd(x, K1) = || x-|| =
=X, а x+ является ближайшим к х элементом конуса.3.4. Пусть X > х1 > 0. Положив λ = 0 в формулах 2.2, получим:
) .В этом случае очевидно, что x+ – x- = x, || x+ + x-|| = ||x||.
Рассматривая функционал из 3.3, находим:
, 
.Заметим, что в этих рассуждениях использован результат, полученный в 2.2, о том, что
.В итоге получаем, что d(x, K1) = ||x-|| =
, a x+ является ближайшим к x элементом конуса.3.5. Пусть х1 < 0 и – х1 > X. Если λ = 0 в формулах 2.3, то элементы
)удовлетворяют условиям x+ – x- = x и ||x+ + x-|| = ||x||, причем f(x+) = 0, f(x-) = ||x-||, где f – функционал из 3.3.
Таким образом, в этом случае d(x, K1) = ||x-|| =
, a x+ – ближайший к x элемент конуса.Аналогичные рассуждения показывают, что данные результаты справедливы и для конуса Kj.
3.6. Данные рассуждения подтверждают результат утверждения 2.3 из [6] о том, что
4. Описание множества М(х)
Элемент x принадлежит конусу К1. В этом случае расстояние d(x, K1) = ||x–|| = 0. Если а = (a1, ..., аn) Î М(x), то а Î К1 и ||а – x|| = 0, откуда следует, что а = x и M(x) = {x}.
Элемент х принадлежит конусу –К1. В этом случае x1 ≤ –X и расстояние
d(x, К1) = ||x||. Если a = (a1, ..., аn) Î М(x), то a1
= A и ||a – x|| = ||x||, что равносильно |а1 – x1| + 
= –x1 + + 
. Откуда следует, что а1 = 
- 
≥ 
=A.Получаем, что
≥ 
≥ ≥ .Равенство | xk – аk| + |аk| = |xk| для любого
означает, что аk и (xk – аk) – одного знака, т. е. аk = ak xk, где 0 ≤ ak ≤ 1 для любого . Выражение для а1 имеет вид: а1 = 
.В итоге получаем, что
где 0≤ak≤1, 
}.4.3. x1 = 0 и элемент х не принадлежит конусу К1. Пусть а = (a1, ..., an) Î М(x). Из определения М(х) следует, что a1 ≥ А и ||а – x|| = =
+ |a1| = . Из последних равенств получаем: а1 = 
– 
≥ 
или следующую цепочку 
≥ 
= 
+ + 
≥ . Это равносильно 
+ + = . В итоге вновь получаем равенство|xk −ak| + |ak| = |xk| (
),которое равносильно утверждению, что
где 0≤ak≤1, 
}.4.4. Пусть x1 > 0 и элемент x не принадлежит конусу K1. Если а = (a1, ..., аn) Î М(x), то ||a – x|| = ||x–|| = d(x, К1) =
– x1или
Так как a Î K1 , то а1 ≥
. Тогда последовательно получаем a1 ≤ |а1 – x1| + x1 = - ≤ ≤ a1 , что равносильно системе 
или
Получаем, что (аk – xk) и xk – одного знака, т. е. аk = akxk, где 0 ≤ ak ≤ 1 для любого
. Подставив в (*), имеем а1 + 
= .Таким образом, выражение для а1 имеет вид: а1 =
.В итоге получаем, что если х1 > 0, то
где 0≤ak≤ 1, 
}.
= 
= 
.
, 0 ≤ λ, λk ≤ 1}; 
, 0 ≤ λ, λk ≤ 1}; 
