Геометрические свойства регулярного круглого конуса в пространстве (стр. 1 из 3)

Асп. Коробова К. В.

Кафедра математического анализа.

Северо-Осетинский государственный университет

Приведены явные формулы для вычисления множеств положительных и отрицательных частей произвольного элемента в пространстве

, упорядоченном круглым регулярным конусом. Определено множество элементов, на котором реализуется минимум в формуле расстояния от элемента до конуса, и исследуется вопрос о совпадении этого множества с множеством положительных частей элемента.

Введение

Теория конусов является актуальным разделом функционального анализа и находит большое применение во многих областях математики. Геометрическим свойствам пространств, упорядоченных конусами различного вида, посвящены работы Л. В. Канторовича, Б. 3. Вулиха [1,2], М. А. Красносельского [3], В. Т. Худалова [4,5]. В работе автора [6] дано общее описание регулярного круглого конуса в пространстве

и описаны некоторые его свойства. Данная статья посвящена дальнейшему исследованию порядковых свойств пространства

1. Предварительные сведения

Приведем необходимые для дальнейшего использования определения и результаты.

1.1. Пусть Е – банахово пространство над полем действительных чисел R, Е+ – конус в Е. Конус Е+ называется регулярным, если выполнены следующие условия:

±х ≤ у Þ ||х|| ≤ ||y|| для любых х, у Î Е,

для любого х Î Е и любого e > 0 существует у Î Е+ такой, что ±х ≤ у и ||у|| ≤ (1+e) ||х||.

Регулярный конус Е+ называется строго регулярным, если выполнено условие (2) при e = 0, т. е.

(2') для любого х Î Е существует у Î Е+ такой, что ±х ≤ у и ||y|| = ||х||.

Упорядоченное замкнутым строго регулярным конусом Е+ пространство Е обозначают (Е, Е+) Î (Â), см. [1,2].

1.2. Одним из наиболее общих методов построения конуса в произвольном банаховом пространстве, обладающего свойствами нормальности, несплющенности, а также другими свойствами, является следующий: пусть X – банахово пространство, f Î X* – произвольный непрерывный линейный функционал на X такой, что ||f|| = 1. Для любого aÎ (0,1] определим K(f,α):={xÎX: f(x) ≥ a||х||}.

Если Н – гильбертово пространство над R, то для любого aÎН, ||a|| = 1, конус К(а, a) имеет вид:

K(a, α) = {x Î X : (a, x) ≥ a ||x||}.

Если dim H > 1, то для любого а Î Н, ||a|| = 1, конус К (а, a) строго регулярен в Н тогда и только тогда, когда a =

[5].

1.3. Отметим, что класс регулярных конусов в пространствах

и l1 совпадает с классом строго регулярных конусов [5]. Данная работа опирается на следующее описание всех регулярных круглых конусов, полученных в [4].

Теорема. Конус K(f, a) является регулярным

, n > l1 только при двух значениях aÎ (0,1]:

при a = 1 каждая координата вектора f = (f1, f2,..., fn) равна +1 или – 1; при этом имеется 2n конусов, порождающих упорядоченные банаховы пространства, порядково изоморфные и линейно изометричные пространству

с естественным конусом положительных элементов;

при a = 0,5 одна из координат (j-я координата) вектора f = (f1, f2,..., fn) равна ±1, а все остальные – нули; при этом имеется 2n конусов, порождающих упорядоченные банаховы пространства, порядково изоморфные и линейно изометричные пространству

с конусом

Kj = {х = (x1,x2,...,xn) : xj ≥

}. (1)

1.4. Пусть (Е, Е+) Î (Â). Для любого х Î Е обозначим через |Х| множество элементов у Î Е таких, что ± x ≤ у и ||x|| = ||y||. Любой элемент этого множества называется метрическим модулем элемента x.

Положим

X+ = ½ x + ½|X|, X− = −½ x + ½|X| .

Множества Х+ и Х− называются множествами положительных (соответственно отрицательных) частей элемента x. Если у Î |Х|, т.е. ±x ≤ у и ||у|| = ||x||, то положим x+ = (у + x)/2, x− = (у – x)/2, |x| = x+ + x−. Из определения следует, что |x| ≥ ± x, причем

x = x+ − x−, |x| = x+ + x−, ||x+ - x−|| = ||x+ + x−||, ||x|| = |||x|||.

1.5. Конус Е+ в упорядоченном банаховом пространстве (Е, Е+) Î (Â) называется достижимым, если для любого x Î Е существует элемент Рх Î Е+, на котором реализуется минимум в формуле расстояния от х до Е+, т. е.

d(x, E+) = inf{||а – x|| : a Î E+} = ||Рx – x||.

Множество всех таких Рх обозначается М(х).

1.6. При вычислении расстояния от точки до конуса воспользуемся следующим результатом из [5].

Пусть (Е, Е+) Î (Â) и х Î Е+. Элемент x+ Î Е+ является ближайшим к х элементом конуса Е+ тогда и только тогда, когда существует f Î Е*+, ||f|| = 1, такой, что f(x+) = 0, f(x-) = ||x-||. В этом случае d(x, Е+) = ||x-||.

1.7. Пусть E – банахово пространство над R со строго регулярным замкнутым конусом Е+. Элементы x, у Î Е+ называются н-дизъюнктными или ортогональными по Роберу (обозначается x

у), если ||x + λу|| = ||x – λу|| для любого λ ≥ 0.

2. Описание множеств |Х|, Х+, Х-

Рассмотрим пространство

, упорядоченное регулярным круглым конусом K(f,a), где a = 0,5 и функционал f имеет первую координату, равную единице, а остальные координаты нулевые:

K1 = {x = (x1, x2, ..., xn) : x1 ≥ |x2| + … + |xn|}.

Все результаты легко перенести на общий случай (1) с помощью изометричного преобразования. В дальнейшем, если не указано иное, будем обозначать через X =

Опишем множества |Х|, Х+, Х- для произвольного элемента x = (x1, ..., xn) Î

. Заметим, что частный случай разложения элемента х на ортогональные по Роберу положительную и отрицательную части рассмотрен в [6].

2.1. Пусть x1 = 0. Найдем элемент конуса, который мажорирует элементы ± х и равен им по норме, т. е. у = (у1, …, yn) : y1 ≥

, y ≥ ± х, ||y|| = ||x||. Такой элемент описывает следующая система:

Сложив первые два неравенства, получим оценку у1 ≥ X. С другой стороны, из третьего равенства видно, что у1 ≤ X. Тогда у1 = X,

= 0, следовательно yk = 0 для любого

. Получаем следующее представление метрического модуля элемента х и его положительной и отрицательной части

2.2. Пусть x1 > 0. В этом случае система, описывающая элемент у Î |Х|, имеет вид:

Аналогичные действия позволяют утверждать, что X≤у1≤X + х1, т.е. у1 представим в виде у1 = X + λх1, где 0 ≤ λ ≤ 1. Последовательно подставляя значение у1 в систему, имеем:

-|yk – xk|) ≥ ≥ х1(l – λ) =

, с другой стороны, |уk| = |xk + (yk – xk)| ≥ ≥ |xk| – |yk – xk|. В итоге получаем:

|xk| = |yk| + |yk − xk| (

Из этого равенства следует, что уk и хk – yk – одного знака, что приводит к следующим выводам:

если (xk − yk) > 0 и yk > 0, то 0 < yk < xk ;

если (xk − yk) < 0 и yk < 0, то xk < yk < 0;

если (хк – yk) = 0 и yk = 0, то хk = уk = 0.

Из чего следует, что каждая координата уk (

) представима в виде уk = λkхk, 0 ≤ λk ≤ 1.

Отметим равенство, используемое в дальнейшем:

Итак, при x1 > 0 имеем:

где

, 0 ≤ λ, λk ≤ 1};

где

, 0 ≤ λ, λk ≤ 1};

где

, 0 ≤ λ, λk ≤ 1}.

2.3. Пусть x1 < 0. Система, описывающая элемент у Î |Х|, на этот раз имеет вид:

Выполнив аналогичные пункту 2.2 действия, получим X ≤ у1 ≤ X – х1. В этом случае y1 = Х + λ|x1|, где 0 ≤ λ ≤ 1. Подставляя последовательно значение у1 в систему, получаем

Откуда выводим:

|xk| = |yk| + |yk + xk| (