Введение. 3
Глава 1. Теоретико-методологические основы формирования математического понятия дроби на уроках математики. 6
1.1. Процесс формирования математических понятий на уроках математики 6
1.2. Методика введения математических понятий на уроках математики 16
1.3. Понятие дроби. 24
1.4. Введение и формирования математического понятия дроби на уроках математики. 27
Выводы по 1 главе. 36
Глава 2. Практическое исследование введения и формирования математического понятия дроби на уроках математики. 37
2.1. Содержание и ход эксперимента. 37
2.2. Анализ полученных результатов. 44
Выводы по 2 главе. 47
Заключение. 48
Список литературы.. 49
Приложения. 50
Большинство применений математики связано с измерением величин. Однако для этих целей натуральных чисел недостаточно; не всегда единица величины укладывается целое число раз в измеряемой величине. Чтобы в такой ситуации точно выразить результат измерения, необходимо расширить запас чисел, введя числа, отличные от натуральных. К этому выводу люди пришли еще в глубокой древности: измерение длин, площадей, масс и других величин привело сначала к возникновению дробных чисел – получили рациональные числа, а в V в. до н.э. математиками школы Пифагора было установлено, что существуют отрезки, длину которых при выбранной единице длины нельзя выразить рациональным числом. Позже, в связи с решением этой проблемы, появились числа иррациональные. Рациональные и иррациональные числа назвали действительными.
Действительные числа – не последние в ряду различных чисел. Процесс, начавшийся с расширения множества натуральных чисел, продолжается и сегодня – этого требует развитие различных наук и самой математики.
Знакомство учащихся с дробными числами происходит, как правило, в начальных классах. Затем понятие дроби уточняется и расширяется в средней школе. В связи с этим учителю необходимо владеть понятием дроби и рационального числа, знать правила выполнения действий над рациональными числами, свойства этих действий. Все это нужно не только для того чтобы математически грамотно ввести понятие дроби и обучать младших школьников выполнять с ними действия, но и, что не менее важно, видеть взаимосвязи множеств рациональных и действительных чисел с множеством натуральных чисел. Без их понимания нельзя решить проблему преемственности в обучении математике в начальных и последующих классах школы.
Исходя из актуальности данной проблемы мы выбрали темой нашего исследования «Формирование математических понятий» (Дроби.5 класс).
Объект исследования – процесс формирования понятия дроби.
Предмет исследования – приемы введения и формирования математических понятий на уроках математики.
Цель исследования – разработать приемы введения и формирования математических понятий на уроках математики.
В соответствии с целью в основу исследования была положена гипотеза, что понятие дроби будет сформировано у учащихся 5 классов при систематической и целенаправленной работе, направленной на формирование понятия дроби как рационального числа.
В соответствии с целью и гипотезой были поставлены следующие задачи:
- проанализировать методико-математическую и психолого-педагогическую литературу и выявить теоретические положения, связанные с понятием дроби;
- проанализировать методико-математическую литературу и выявить приемы введения и формирования понятия дроби на уроках математики, рассмотреть различные подходы к введению понятия дроби;
- отобрать и апробировать упражнения, направленные на формирование дроби как рационального числа;
- разработать методические рекомендации по приемам введения и формирования дроби как рационального числа.
Для решения поставленных задач использованы методы исследования: наблюдение, педагогический эксперимент, анализ продуктов деятельности учащихся, тестирование.
Исследования проводились в три этапа:
1 этап – поисково-теоретический. В процессе анализа психолого-педагогической и методической литературы были обеспечены методология, методика исследования, его понятийный аппарат, проблема, объект, предмет, задачи, методы и гипотеза исследования.
2 этап – опытно-экспериментальный. На этом этапе разработаны и проведены уроки математики с использованием заданий творческого характера, осуществлялась проверка рабочей гипотезы; проводилась обработка полученных результатов.
3 этап – заключительно-обобщающий. Этот этап включал обработку и систематизацию материала, апробацию и внедрение результатов в практику.
Все 3 этапа носили отражение в нашей работе.
Структура работы: выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы, включающего 20 наименований, приложений.
База исследования: Исследование осуществлялось на базе Семибугровской СОШ с. Семибугры Камызякского района.
Испытуемые – ученики 5 «А» класса в количестве 14 учащихся и ученики параллельного 5 «Б» класса в количестве 14 учащихся.
Практическая значимость исследования состоит в формировании математического понятия дроби как рационального числа, подборе заданий, направленных на формирование дроби как рационального числа.
Мы отличаем один объект (явление) от другого, пользуясь различными качествами, признаками или особенностями объектов (и явлений). Среди различных свойств изучаемых объектов можно выделить: 1) единичные (индивидуальные) свойства; 2) общие свойства.
Для единичных свойств некоторого объекта характерно то, что они являются его отличительными свойствами. Например: а) Самая большая река в Европе - Волга; б) уравнение второй степени с одной переменной - квадратное уравнение.
Общие свойства некоторого объекта могут быть как отличительными, так и неотличительными его свойствами. Например, люди - позвоночные существа (неотличительное свойство). Общее свойство объекта может быть его отличительным свойством, если оно выражает так называемые существенные свойства этого объекта, свойства, которые являются его признаками, выделяющими его из множества других объектов. Например, люди - существа с членораздельной речью. В процессе отражения в мозгу человека этих свойств объектов возникает особая форма мышления называемая понятием.
Что же является характерным для такой формы мышления, как понятие?
Во-первых, то, что понятие есть продукт высокоорганизованной материи; во-вторых, то, что понятие отражает материальный мир; в-третьих, то, что понятие предстает в познании как средство обобщения; в-четвертых, то, что понятие означает специфически человеческую деятельность; в-пятых, то, что формирование понятия в сознании человека неотделимо от его выражения посредством речи, записи или символа.
Процесс формирования некоторого понятия - постепенный процесс, в котором можно усмотреть несколько последовательных стадий. Попытаемся проиллюстрировать этот процесс на простейшем примере - формировании у детей понятия о числе 3.
1) На первой ступени познания дети знакомятся с различными конкретными множествами, такими, например, какие изображены на рисунке 1. Они не только видят каждое из этих множеств, но и могут осязать (потрогать) те предметы, из которых эти множества состоят. На этой стадии процесса познания они могут обращать внимание (усматривать) самые разнообразные конкретные свойства как самих предметов, так и множеств, для которых эти предметы являются элементами.
Этот процесс «видения» создает в сознании ребенка особую форму отражения реальной действительности, которая называется восприятием (ощущением). Чувственное восприятие объекта есть начальная, простейшая ступень в его познании - первая ступень в формировании соответствующего ему понятия. Восприятие существует в сознании человека только в то время, когда какие-либо объекты или явления воздействуют на его органы чувств; в то же время оно не исчезает бесследно.
2) Уберем объекты, составляющие каждое множество, и предложим детям забыть о том, каковы были эти объекты. Было ли нечто общее, характеризующее каждое из этих множеств? В сознании детей должно было запечатлеться число предметов в каждом множестве, то, что всюду было по «три». Если это так, то в сознании детей создалась новая форма представление о числе «три».
3) До сих пор дети имели дело с множествами предметов, в каждом из которых было по 3 предмета. На основе мысленного эксперимента на следующей ступени познания дети должны усмотреть, что свойство, выраженное в слове «три», характеризует любое множество любых элементов вида (а,b, с). Тем самым выделена существенная общая особенность таких множеств - «иметь три элемента». Теперь можно сказать, что в сознании детей сформировано понятие о числе 3.
Понятно, что приведенная нами иллюстративная схема является лишь грубым приближением к реальному процессу мышления. Вместе с тем даже из этого простейшего иллюстративного примера видно, что понятия образуются путем операции обобщения, которая неразрывно связана с абстрагированием.
Отметим, что известно несколько видов обобщения. Один из них строится на основе выделения общих признаков объектов, отбрасывании тех, которыми они отличаются. Так, например, рассматривая такие понятия, как «треугольник АВС», «треугольник» и «многоугольник», нетрудно установить, что основное различие между ними состоит именно в степени обобщенности: понятие «треугольник» шире, чем понятие «треугольник АВС», а понятие «многоугольник» шире, чем «треугольник». Возрастание обобщенности понятий происходит по мере того, как отбрасываются те свойства-признаки, которые отличают одни объекты от других. Так, в понятии «многоугольник» выделены лишь общие признаки, присущие всем многоугольникам, те же, которые отличают один вид многоугольника от другого, отброшены.