Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп (стр. 10 из 20)
Пусть
--- силовская подгруппа из 
. Покажем, что 
.Пусть
--- абелева группа. Так как --- 
-субнормальная подгруппа группы 
, то, согласно теореме 2.2.8, .Пусть
--- неабелева группа. В этом случае 
есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и 
.Рассмотрим подгруппу
. Согласно лемме 3.1.5, --- -субнормальная подгруппа группы . Пусть 
. Так как 
и --- собственная -субнормальная подгруппа группы , то равенство 
невозможно. Итак, 
.Так как
и --- насыщенная формация, то 
. Отсюда следует, что 
А это значит, что
. Если 
, то 
. Последнее равенство невозможно, так как согласно лемме 3.1.4 --- собственная -субнормальная подгруппа 
.Итак,
--- собственная подгруппа . Если 
, то 
Так как
и --- наследственная формация, то 
. Но тогда нетрудно заметить, что 
.Так как
, то согласно лемме 3.1.4, --- -субнормальная подгруппа. Так как и --- наследственная формация, то любая силовская подгруппа 
-субнормальна в . Согласно лемме 3.1.4, --- -субнормальная подгруппа группы . По индукции, 
. Отсюда следует, что 
для любой 
.Аналогичным образом доказывается, что
для любой , где 
--- любая силовская подгруппа из 
. Из того, что , следует 
.Рассмотрим два случая:
и 
.Пусть
. Покажем, что 
.Если
--- абелева, то --- примарная 
-группа, где 
. Отсюда следует, что .Если
--- неабелева, то есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп.Так как
--- нормальная подгруппа из , то 
Так как
, то очевидно, что . Так как 
, то 
для любой . Следовательно, 
.