Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп (стр. 6 из 20)

1.3 Лемма. Пусть

--- наследственная насыщенная формация, --- -субнормальная подгруппа группы такая, что . Тогда .

Доказательство. Пусть

. Очевидно,

Так как

, то по индукции . Следовательно,

Отсюда, согласно лемме 2.2.6,

Пусть

. Тогда --- цоколь группы . По лемме 3.1.2, --- субнормальная подгруппа группы . По теореме 2.2.7, . Следовательно, --- нормальная подгруппа группы . Тогда

По теореме 2.2.8,

. Отсюда следует, что . Так как и --- наследственная формация, то . Получаем , т. е. . Лемма доказана.

В следующих леммах приводятся основные свойства

-субнормальных подгрупп.

1.4 Лемма. Пусть

--- непустая наследственная формация. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если

--- подгруппа группы и , то --- -субнормальная ( -достижимая) подгруппа группы ;

2) если

--- -субнормальная ( -достижимая) подгруппа группы , то --- -субнормальная ( -достижимая) подгруппа для любой подгруппы группы ;

3) если

--- -субнормальная ( -достижимая) подгруппа и --- -субнормальная ( -достижимая) подгруппа группы , то --- -субнормальная ( -достижимая) подгруппа группы ;

4) если

и --- -субнормальные ( -достижимые) подгруппы группы , то --- -субнормальная ( -достижимая) подгруппа группы ;

5) если все композиционные факторы группы

принадлежат формации , то каждая субнормальная подгруппа группы -субнормальна в ;

6) если

--- -субнормальная ( -достижимая) подгруппа группы , то -субнормальна ( -достижима) в для любых .

Доказательство. 1) Пусть

--- подгруппа группы и . Так как и --- наследственная формация, то подгруппа является -субнормальной подгруппой группы . Отсюда, согласно определению -субнормальной подгруппы, существует максимальная цепь