Рассмотрим последовательность X1, X2... Выбранный элемент X и все его степени являются членами группы и группа конечна, поэтому последовательность должна повторить себя. Пусть Xn=Е, тогда X1, X2. Xn=Е называется периодом и обозначается {X}, а n - порядок элемента X. Период элемента А в указанной группе A1, A2 =В, A3=Е, т.е. n=3. Период элемента В: В1, В2=А, В3=Е; n=3. Период С: С1, С2 =Е, т.е. n=2. Период любого элемента образует группу, т.к все постулаты для такой совокупности элементов выполнены. Ее называют подгруппой группы G.
{А}={В}= E, A, B
{С}= Е, С{D}= Е, D
{F}= E, F
Можно показать, что порядок подгруппы есть делитель порядка группы. Пусть существует группа G, в которой есть подгруппа H. Пусть элемент g принадлежит G, но не принадлежит подгруппе H. Умножим все элементы h1, h2,... из подгруппы H на элемент g. Элементы комплекса (смежного класса) принадлежат G, но не H, потому что в противном случае hi×g=hk и g=hk×hi-1, что не так. Продолжая этот процесс получим, что все элементы группы G можно представить следующим образом (H- совокупность элементов подгруппы H):
H, Hg1, Hg2,... Hg
в каждом комплексе h элементов (h - порядок H) поэтому g=hm, ибо элементы комплекса Hg1 не принадлежат ни Hgn ни Hgm.
Если A, B и X - элементы группы и В=XAX-1, то A и В называют сопряженными элементами. Следующие законы относящиеся к сопряженным элементам являются почти очевидными и могут быть проверены с помощью таблицы умножения группы:
1. Каждый элемент сопряжен сам с собой;
2. Если A сопряжено с В, то В сопряжено с A;
3. Если A сопряжено с В, и В сопряжено с С, то A и В сопряжены между собой. Элементы сопряженные друг с другом, образуют класс.Т.о. вся группа распадается на классы
Для группы E, A, B, C, D, F класс A есть A и В, т.к
ЕАЕ-1=А; ААА-1=A; ВАВ-1=А
САС-1=В; DAD-1=В; FAF-1=B
Подобным же образом можно показать, что класс элемента С (а также D и F) есть C, D, F. Единичный элемент образует класс сам с собой. Поэтому в группе G содержится три класса E; A,B; C,D,F. Число элементов в каждом классе является делителем порядка группы.
Все элементы класса имеют один и тот же порядок.
Действительно, если n порядок A то для B=CAC-1 имеет место соотношение Вn= (CAC-1) n= (CAC-1) × (CAC-1) … (CAC-1) = CAnC-1 = Е.
ИЗОМОРФИЗМ. Две группы G и G` одинакового порядка называются изоморфными если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие такое, что если AB=C, то A`B`=C`.
Из самого определения операции симметрии видно, что они удовлетворяют постулатам, сформулированным для группы. Следовательно, полный набор операций симметрии некоторой фигуры образует группу. Любая операция группы преобразует систему элементов симметрии в самое себя, т.к фигура, к которой принадлежит эта система элементов, согласно определению операции симметрии, приводится к совпадению с собой. Элементы симметрии, которые таким образом могут быть преобразованы один движения. Другими словами все оси и плоскости симметрии молекулы должны пересекаться в одной точке. Перед тем как перейти к построению возможных типов точечных групп, рассмотрим простой геометрический способ, позволяющий легко произвести разделение элементов групп по классам. Пусть Oa некоторая ось и элемент A есть поворот вокруг этой оси на некоторый угол. Пусть далее G элемент из той же группы (поворот или отражение) который будучи применен к той же оси Оa переводит ее в положение Оb. Можно показать, что тогда элемент W=GAG-1 отвечает повороту вокруг оси Оb на такой же угол, на который элемент А поворачивает пространство вокруг Оa. Действительно, рассмотрим воздействие GAG-1 на ось Оb. Преобразование G-1 переводит Оa в Оb; преобразование A (поворот) оставляет ось на месте; последующая операция G переводит Oa в Ob. Поскольку результирующая операция GAG-1 оставляет ось Оb на месте, то Оb есть ось вращения. Поскольку А и В сопряжены, они относятся к одному классу и имеют одинаковый порядок, т.е. производят поворот на один и тот же угол. Покажем математически, что Вn=Е
Вp= (GAnG-1) p=GAnG-1GAnG-1... GAnG-1=GAnAnAn. AnG-1=GAnpG-1
Это выражение равно E при p=n и не является операцией идентичности при всех других значениях p. Таким образом, два поворота а одинаковый угол относятся к одному классу, если в числе элементов группы имеется преобразование, с помощью которого можно совместить одну ось поворота с другой. Точно также две операции в плоскости относятся к одному классу, если есть операция переводящая одну ось в другую. Если же оба поворота производятся вокруг одной и той же оси, то операции поворота будут относится к одному и тому же классу, если ось двусторонняя. Элемент, обратный Сnk (k=1,2,. n-1) вокруг оси порядка n, будет Сn-k=Сnn-k, т.е. представляет собой поворот на угол (n-k) 2p/n в том же направлении или на угол k2p/n в обратном направлении. Если в числе преобразовании группы имеется поворот на угол p вокруг оси, перпендикулярной данной Сn (меняет направление оси), то согласно доказанному общему правилу Сnk и Сn-k относятся к одному классу. Отражение в плоскости sh тоже меняет направление оси, но меняет также и направление вращения. Таким образом наличие sh не делает Сnk и Сn-k сопряженными. Отражение в sv не меняет направление оси, но меняет направление вращения и поэтому Cn-k=svCnksv/
Итак, различные типы элементов симметрии могут входить в различные классы. Число элементов в каждом классе определяется путем рассмотрения числа сопряженных элементов симметрии, соответствующих каждой операции. С этой геометрической интерпретацией легко определить и классифицировать все возможные точечные группы. Мы рассмотрим сначала проблему нахождения групп более высокой симметрии путем добавления некоторых элементов к группам более низкой симметрии. По аналогии с {A}, что обозначает период А, мы обозначим через {А, В} все величины типа АmВn, где порядок А и В не изменяется. Рассмотрим группу G с системой элементов G1, G2... Gn-1. Мы хотим добавить к ней систему элементов А1, А2... Am с операцией А, соответствующей одному из элементов. Каким условиям должны удовлетворять группа G и операция A, чтобы {G,A} тоже составляла группу? В любой группе система элементов симметрии преобразуется сама в себя при любой операции группы. Набор, состоящий из Е, G1, G2,... Gn-1 и A1, А2,. Am, очевидно в том случае будет удовлетворять этому требованию, если любая степень А преобразует операции из G в самое себя, и любая операция из G приведем к совпадению А с собой. Если G состоит из Е, G1,... Gn-1, то это означает, что для любого Gk и любой степени Аm существует другая операция Gp, такая, что должны быть выполнены два условия:
1. AmGkА-m=Gpили AmGk=GpAm
2. GkA (Gk) - 1=Аj
Можно проверить, что при этих условиях {G,A} - группа, т.е. все величины типа GkAm действительно представляют собой группу. Поскольку G - группа и A-операция симметрии, то мы должны показать только, что произведение двух операции например, GpAm и GjАr содержится в {G,A}. Действительно,
GpAmGjAr=AmGPGjAr=AmGsAr=AmGsA-mAr+m= GtAr+m=GtAq
что по определению содержится в {G,A}. Операция А и ее степени могут преобразовывать такие элементы G один в другой, которые не эквивалентны по отношению к операциям из G. Поэтому не следует ожидать, что классы группы вращения будут идентичны с классами группы второго рода, полученными из нее. Это, однако будет иметь место, если A=I, т.к операция инверсии I может лишь преобразовывать каждый отдельный элемент группы G сам в себя. Поскольку инверсия коммутирует с любой другой операцией, класс группы {G, I} получается из класса группы G умножением каждого (сопряженного) элемента на I, т.к GkGj (Gk) - 1=Gn предполагает GkIGj (Gk) - 1=IGn.
Поэтому группа {G, I} имеет вдвое больше классов, чем G. Может быть показано, что представленный метод построения действительно приводит по всем возможным группам симметрии. Далее можно доказать, что если группа имеет более, чем одну ось симметрии порядка выше второго, то ее система осей идентична с системой осей правильного многогранника. Единственные правильные многогранники суть тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Из них куб и октаэдр, а также додекаэдр и икосаэдр имеют по одинаковому набору осей симметрии.