Симметрия молекул и кристаллов (стр. 1 из 4)

Симметрия молекул и кристаллов

Преобразования симметрии

1. Симметрия тела определяется совокупностью тех перемещений, которые совмещают тело с самим собой; об этих перемещениях говорят как о преобразованиях симметрии. Каждое из возможных преобразований симметрии можно представит в виде комбинации одного или нескольких из трех основных типов преобразовании. Этими тремя существенно различными видами преобразовании являются:

1 - поворот тела на определенный угол вокруг некоторой оси;

2 - зеркальное отражение в некоторой плоскости;

3 - параллельный перенос тела на некоторое расстояние.

Последним типом преобразований может обладать лишь бесконечная среда (кристаллическая решетка). Тело же конечных размеров (молекула) может быть симметрична только по отношению к поворотам и отражениям.

2. Если тело совмещается само с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол j=2p/n, то такая ось называется осью симметрии n-го порядка и обозначается C_n. Число n может иметь различные целые значения n=2,3.4 ... Значение n=1 соответствует повороту на угол 2p/1, или 0, т.е. соответствует тождественному преобразованию. Повторяя операцию C_n два, три и т.д. раз получаем поворот на угол 2×2p/n, 3×2p/n,... и т.д. Эти повороты также совмещают тело само с собой и обозначаются C_n²,C_n³ и т.д. Очевидно, что если n кратно p, то C_n^p=C_n/p. Произведя преобразования n раз, мы вернемся в первоначальное положение, т.е. произведем тождественное преобразование, которое принято обозначать символом Е.

3. Если тело совмещается само с собой при зеркальном отражении в некоторой плоскости s, то такая плоскость называется плоскостью симметрии. Операцию отражения обычно обозначают также символом s. Очевидно, что двукратное отражение в одной плоскости есть тождественное преобразование ss^-1=Е.

4. Одновременное применение обоих преобразований поворота и отражения приводим к так называемой зеркально-поворотной оси S_n. Тело обладает зеркально-поворотной осью n-го порядка, если оно совмещается с самим собой при повороте вокруг этой оси на угол 2p/n и последующем отражении в плоскости s_h, перпендикулярной к этой оси. Это новый вид симметрии, если n четное. Если n-нечетное, то применение этой операции n раз даст поворот на угол 2p/n, а нечетное отражение в плоскости даст простое отражение. Только при четном n применение n раз этой операции даст тождественное преобразование, т.е. sS_2p^2p=E. Зеркально-поворотное преобразование обозначается S_n. Поскольку при отражении в плоскости s, перпендикулярной оси C_n принято ставить индекс h при s плоскость обозначается s_h. Важным случаем является зеркально-поворотная ось второго порядка S₂. Легко сообразить, что поворот на угол j с последующим отражением в плоскости s_h, представляет собой преобразование инверсии I, при котором происходит отражение тела в точке пересечения оси C₂ и плоскости s_h. I=S₂=C₂×s_h; I×s_h=C₂; I×C₂=s_h, т.е. C₂, s_h и I взаимно зависимы: наличие любых двух элементов приводит к существованию третьего.

5. Произведение двух поворотов вокруг осей, пересекающих в точке А есть также некоторое вращение вокруг оси, проходящей через точку А. Ось вращения и угол результирующего движения определяются осями и углами исходных поворотов. Произведение двух отражений s₁ и s₂ в пересекающихся под углом j плоскостях, эквивалентно повороту вокруг оси, совпадающей с линией пересечения этих плоскостей на угол 2j, т.е. s₂s₁=C (2j). Действительно, умножая последнее равенство на s₂, получимs₁=s₂×C (2j), т.е. произведение поворота на угол 2j и отражения в плоскости, проходящей через эту ось, эквивалентно отражению в другой плоскости, пересекающейся с первой под углом j.

Другой важный результат состоит в том, что произведения двух вращений на угол p вокруг пересекающихся под углом j осей U и V эквивалентно вращению вокруг оси ММ, перпендикулярной плоскости, в которой находятся оси U и V, на угол 2j=2 (V,U). Действительно, при двух кратном вращении вокруг U и V линия ММ остается в прежнем положении, т.е. это вращение вокруг оси ММ. Для определения угла вращения рассмотрим саму ось U. Вращение вокруг U оставляет ее без изменений, а вращение вокруг V переводит ее в новое положение U`, так что угол между старым U и новым U`положением равен (UU`) =2j.

Результат двух последовательных преобразований, вообще говоря, зависит от порядка, в котором эти операции производятся, так что операции не коммутируют. При записи сначала записывается операция, которая производится второй. Однако, следующие операции являются коммутирующими:

1. Два вращения вокруг одной и той же оси C_n^kC_n^l=C_n^lC_n^k.

2. Два отражения во взаимно перпендикулярных плоскостях - они эквивалентны вращению на угол p: s_x×s_y=C₂^z=s_y×s_x,3. Вращение и отражение в плоскости перпендикулярной этой оси C_ns_h=S_n=s_hC_n (т.е. вращательное отражение). Эту операцию можно рассматривать как фундаментальную.4. Вращение на угол p вокруг двух перпендикулярных осей: C₂^x×C₂^y=C₂^z.

5. Любой поворот C_n, отражение s_h и инверсия I (следствие 1 и 3).

Ясно, что для каждой операции симметрии R, которую можно применить к нему, имеется операция, отличающаяся от первой или идентичная ей, которая переводит тело в первоначальное положение. Это обратная операция R^-1R=Е

Операции симметрии

Рассматривая симметрию любой фигуры, мы должны среди всех возможных вращении и отражении выбрать те, которые приводят фигуру к совмещению с собой. Эти движения называются операциями симметрии. Операции симметрии надо отличать от элементов симметрии. Оси вращения типа С_n называются n кратными. Зеркально-поворотные оси называются также осями второго рода. В силу предыдущих соотношения имеют место следующие утверждения:

1. Пересечение двух плоскостей симметрии есть ось симметрии. Если угол между плоскостями p/n, то ось является n-кратной, т.е. поворот вокруг этой оси на угол 2p/n совместить тело с самим собой.

2. Если плоскость симметрии содержит n-кратню ось, то существует еще n-1 плоскостей симметрии, проходящих через ту же ось, причем угол между плоскостями p/n. Частный случай: ось С₂ и две проходящие через нее ортогональные плоскости всегда существуют вместе.3. Ось четвертого порядка, плоскость перпендикулярная к ней и инверсия всегда существуют вместе, т.к C₄²s_h=S₂ºI.

4. Две двукратные оси, образующие угол p/n вызывают появление перпендикулярной к их плоскости n-кратной оси.5. Двукратная ось и перпендикулярная к ней n-кратная ось генерирует еще n-1 двукратных осей. Угол между ними p/n.

Группы операций симметрии

Система операций симметрии, характерная для данного тела, представляет собой частный случай совокупности, которая в математике называется группой. Набор элементов E, A, B, C... образуют группу, если выполняются следующие четыре постулата:

1. Существует правило умножения, такое, что умножение двух любых элементов группы А и В даст третий элемент этой же группы С, т.е. А*В=С;

2. Имеет место ассоциативный закон (АВ) С=А (ВС);

3. Каждая группа содержит идентичный элемент, для которого АЕ=ЕА=А;

4. Каждый элемент группы имеет обратный Х=А^-1, такой, что А^-1А= =АА^-1=Е. Обратный элемент может совпадать со своим прямым, например E^-1=E.

Очевидно, что система всех операции тела, включая и тожественную операцию Е, удовлетворяет перечисленным выше требованиям, и составляет таким образом группу. Однако понятие группы шире. Члены группы могут рассматриваться как отдельные абстрактные элементы, могут быть идентифицированы с вещественными или комплексными числами, с матрицами, с движением геометрической фигурой в пространстве. Правило умножения (композиция) элементов - это обычное умножение или матричное умножение. В случае обычного умножения четыре числа +1, - 1, +i, - i образуют группу, что нетрудно проверить:

1.1* (+1) =1; 1* (-1) =-1; 1* (+¤i) =i; 1* (-i) =-i;

1* (-1) =1; - 1* (+i) =-i; - 1* (-i) =i; i* (i) =-1; i* (-i) =1

2. [1* (-1)] *i=1 [ (-1*i)] =-i;

3. Е=1

4. i^-1=-i (-i) - ¹=-1 (-i) - ¹=i.

Если группа содержит конечное число элементов, она называется конечной группой, а число элементов n называется порядком группы. Если имеет место коммутативный закон АВ=ВА группа называется абелевой, но вообще говоря АВ¹ВА. Пусть элементы группы Е, А, B, C, D, F расположены по строкам и столбцам. Произведение АВ пусть стоит на пересечении строки А и столбца В, тогда можно составить таблица умножения элементов:

Таблица 1.Таблица умножения группы

E	A	B	C	D	F
E	E	A	B	C	D	F
A	A	B	E	D	F	C
B	B	E	A	F	C	D
C	C	F	D	E	B	A
D	D	C	F	A	E	B
F	F	D	C	B	A	E

Эти шесть элементов составляют группу. Каждое произведение содержится в группе. Каждый элемент имеет обратный. Группа не абелева, т.к, например, АС¹СА.