Полное исследование функций и построение их графиков (стр. 3 из 3)

.

Рис. 4.1

Зная

, рассмотрим снова предел: . Он выполняется лишь при условии, что

.

Таким образом, найдены

и , а с ними и уравнение наклонной асимптоты. Если , то получаем частный случай горизонтальной асимптоты . При невозможности найти хотя бы один предел (при вычислении или ) делается вывод, что наклонной асимптоты нет.

Аналогично проводится исследование и при

.

5. Общая схема исследования функций

На основании приведенных результатов можно провести полное исследование функции с качественным построением ее графика. План этого исследования следующий:

1) находят область определения функции;

2) определяют точки разрывов функции и их характер;

3) находят корни функции;

4) определяют четность или нечетность функции;

5) проверяют функцию на периодичность;

6) вычисляют производную функции, находят ее критические точки, находят интервалы монотонности и экстремумы;

7) вычисляют вторую производную функции и по ней определяют интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба;

8) находят асимптоты функции;

9) по полученным данным строят качественный график исследуемой функции.

Литература

1.Зайцев И.А. Высшая математика. ДРОФА, 2005. – 400 с.

2.Краснов М. Вся высшая математика т. 1 изд. 2. Едиториал УРСС, 2003. – 328 с.

3.Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. – 109 с.

4.Мироненко Е.С., Розанова С.А., ред., др, Розановой С.А., Кузнецова Т.А. Высшая математика. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2009. – 168c.

5.Михеев В.И., Павлюченко Ю.В. Высшая математика. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2007. – 200c.

6.Пак В.В., Носенко Ю.Л. Высшая математика. Сталкер, 1997. – 560 с.