Полное исследование функций и построение их графиков (стр. 1 из 3)

Дисциплина: Высшая математика

Тема: Полное исследование функций и построение их графиков.

1. Возрастание и убывание функции

Решение различных задач из области математики, физики и техники приводит к установлению функциональной зависимости между участвующими в данном явлении переменными величинами. Если такую функциональную зависимость можно выразить аналитически, то есть в виде одной или нескольких формул, то появляется возможность исследовать ее средствами математического анализа. Имеется в виду возможность выяснения поведения функции при изменении той или иной переменной величины (где функция возрастает, где убывает, где достигает максимума и т.д.). Применение дифференциального исчисления к исследованию функции опирается на весьма простую связь, существующую между поведением функции и свойствами ее производной, прежде всего ее первой и второй производной.

Рассмотрим вначале, как можно находить интервалы возрастания или убывания функции, то есть интервалы ее монотонности. В п. 8.2 были даны определения монотонно убывающей и возрастающей функции. Исходя из этого, можно сформулировать простые теоремы, позволяющие связать значение первой производной данной функции с характером ее монотонности.

Теорема 1.1. Если функция

, дифференцируемая на интервале

, монотонно возрастает на этом интервале, то в любой его точке

; если она монотонно убывает, то в любой точке интервала

.

Доказательство. Пусть функция

монотонно возрастет на , значит, исходя из определения 8.2.2, для любого достаточно малого выполняется неравенство: (рис. 1.1).

Рис. 1.1

Рассмотрим предел

. Если , то , если , то . В обоих случаях выражение под знаком предела положительно, значит, и предел положителен, то есть , что и требовалось доказать. Аналогично доказывается и вторая часть теоремы, связанная с монотонным убыванием функции.

Теорема 1.2. Если функция

непрерывна на отрезке

и дифференцируема во всех его внутренних точках, и, кроме того,

для любого

, то данная функция монотонно возрастает на

; если

для любого

, то данная функция монотонно убывает на

.

Доказательство. Возьмем

и

, причем

. По теореме Лагранжа (п. 14.2), . Но и , значит, , то есть . Полученный результат указывает на монотонное возрастание функции, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

2. Экстремумы функции

При исследовании поведения функции особую роль играют точки, которые отделяют друг от друга интервалы монотонного возрастания от интервалов ее монотонного убывания.

Определение 2.1. Точка

называется точкой максимума функции

, если для любого, сколь угодно малого

,

, а точка

называется точкой минимума, если

.

Точки минимума и максимума имеют общее название точек экстремума. У кусочно-монотонной функции таких точек конечное число на конечном интервале (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Теорема 2.1 (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая на интервале

функция имеет в точке

из этого интервала максимум, то ее производная в этой точке равна нулю. То же самое можно сказать и о точке минимума

.

Доказательство этой теоремы следует из теоремы Ролля (п. 14.1), в которой было показано, что в точках минимума или максимума

, и касательная, проведенная к графику функции в этих точках, параллельна оси .

Из теоремы 2.1 вытекает, что если функция

имеет производную во всех точках, то она может достигать экстремума в тех точках, где .

Однако данное условие не является достаточным, так как существуют функции, у которых указанное условие выполняется, но экстремума нет. Например, у функции

в точке производная равна нулю, однако экстремума в этой точке нет. Кроме того, экстремум может быть в тех точках, где производная не существует. Например, у функции есть минимум в точке , хотя производная в этой точке не существует.

Определение 2.2. Точки, в которых производная функции обращается в ноль или терпит разрыв, называются критическими точками данной функции.

Следовательно, теоремы 2.1 недостаточно для определения экстремальных точек.

Теорема 2.2 (достаточное условие существования экстремума). Пусть функция

непрерывна на интервале

, который содержит ее критическую точку

, и дифференцируема во всех точках этого интервала, за исключением, быть может, самой точки

. Тогда, если при переходе этой точки слева направо знак производной меняется с плюса на минус, то это точка максимума, и, наоборот, с минуса на плюс – точка минимума.

Доказательство. Если производная функции меняет свой знак при переходе точки

слева направо с плюса на минус, то функция переходит от возрастания к убыванию, то есть достигает в точке своего максимума и наоборот.

Из вышесказанного следует схема исследования функции на экстремум:

1) находят область определения функции;

2) вычисляют производную

;

3) находят критические точки;

4) по изменению знака первой производной определяют их характер.

Не следует путать задачу исследования функции на экстремум с задачей определения минимального и максимального значения функции на отрезке. Во втором случае необходимо найти не только экстремальные точки на отрезке, но и сравнить их со значением функции на его концах.

3. Интервалы выпуклости и вогнутости функции