РЕФЕРАТ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
НА ТЕМУ:
«РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ В РОССИИ В СЕРЕДИНЕ XVIII ВЕКА»
Оглавление
1. Характеристика социально-экономического и культурного развития России в середине XVIII века
2. Новые задачи математики, обусловленные развитием техники и естествознанием
3. Развитие основных понятий математического анализа в XVIII века
4. Дифференциальное исчисление
5. Интегральное исчисление и теория обыкновенных дифференциальных уравнений
1. Характеристика социально-экономического и культурного развития России в середине XVIII века
Во второй четверти XVIII века в России темпы развития торговли, промышленности, науки и культуры были гораздо меньшими, чем в первой четверти. Сказывалась продолжительная Северная война, а также частые дворцовые перевороты, приводившие к власти лиц, которым чужды были национальные интересы страны.
В хозяйстве России постепенно развивались новые явления. Укреплялся и расширялся всероссийский рынок. Углублялась хозяйственная специализация отдельных районов страны (определились хлебные, скотоводческие районы и районы технических культур). В центральных районах страны укрепилась трехпольная система. Развивались крестьянские промыслы, особенно в оборочных районах. И все же основным путем дальнейшего развития сельского хозяйства было освоение новых земель.
В середине XVIII века помещики с целью повышения своих доходов начали заниматься предпринимательством – открывали промышленные предприятия по переработке сельскохозяйственного сырья. Однако основная масса дворян вела хозяйство по старинке, повышая доходы от своих имений, главным образом, путем жестокой эксплуатации крестьян.
В промышленность все более и более вовлекался купеческий капитал. На основе дальнейшего развития товарного производства происходил рост капиталистической мануфактуры. К 40-м годам в России были уже довольно крупные текстильные и другие предприятия купцов и кулаков-капиталистов, где преобладал наемный труд.
Промышленность развивалась быстрее, чем сельское хозяйство. Продолжалось интенсивное строительство металлургических заводов, в котором большую роль играл частный капитал. Расширялась территория освоения горнорудных богатств на Урале. В отличие от Северного Урала, где в 30-х годах казна построила крупные доменные заводы, Южный Урал развивался как район преимущественно медеплавильный и исключительно частновладельческий. Новые заводы, правда, более мелкие, строились и в центральном металлургическом районе. Начинали осваивать Алтай. К 1750 году в России насчитывалось около 100 металлургических заводов.
Культура России во второй четверти XVIII века развивалась по пути, наметившемуся в первой четверти века. Из школ, основанных в начале XVIII века, дальнейшее развитие получили только профессиональные школы, готовившие, прежде всего военных специалистов.
Центром научной жизни страны с конца 20-х годов стала Петербургская академия наук, завоевавшая уже в эти годы всемирное признание. В 40-х годах в академии выделился ряд русских ученых, среди которых особенно отличался своей научной энциклопедичностью и многогранностью М.В. Ломоносов. Первым организационным принципом Петербургской академии наук, стимулировавшим развитие русской науки, была обязательная связь научных исследований с практическими потребностями страны.
2. Новые задачи математики, обусловленные развитием техники и естествознанием
Мануфактурный период капитализма сопровождался созданием технической основы машинного производства. Дальнейший технический прогресс в XVIII веке был невозможен без развития естествознания, а значит, и без математических методов. О содержании новых задач и новых трудностей, возникших перед математикой на рубеже XVII-XVIII веках и в первой половине XVIII века, можно судить по состоянию важнейших отраслей естествознания этого периода.
Основы общей механики был заложены Ньютоном в его знаменитых «Началах натуральной философии». Однако основные достижения Ньютона относятся лишь к механике точки. В механике твердого тела он рассмотрел лишь вращение около неподвижной оси. При исследовании движения тела в неподвижных средах Ньютон ограничился рассмотрением только простейших частных случаев.
Несмотря на то, что в исследованиях Лейбница и Ньютона был завершен первый период развития исчисления бесконечно малых, это исчисление еще только завоевывало признание. Новые алгоритмы позволили получить с поразительной легкостью результаты, недоступные прежним методам, однако споры по вопросам обоснования исчисления бесконечно малых заставили, в частности весьма осторожного в своих публикациях Ньютона, отказаться от применения нового исчисления в ряже публикаций по механике. В работах Ньютона по механике нет «ньютоновских дифференциальных уравнений динамики», хотя в его математических работах и приведен целый ряд результатов исследования методов интегрирования дифференциальных уравнений. Поэтому не удивительно, что в общей механике не было аналитических методов. Создание их являлось одной из важнейших задач математики и механики XVIII века. Основная роль в решении этой задачи принадлежит Леонарду Эйлеру.
В связи с разработкой аналитической механики перед математиками возникли новые задачи в области математического анализа. Создание аналитических методов настоятельно требовали новые задачи самой механики – исследование движения материальной точки в среде с заданной инертностью (движение физического маятника, баллистика), переход в этой задаче от точки к твердому телу и т.п. Особенно необходимым было развитие теории малых колебаний материальной точки, а позднее – системы конечного числа материальных точек при определенных предположениях о сопротивлении среды. Необходимость разработки теории физического маятника выдвигалась развитием гравиметрии и теории фигуры Земли, которое, в свою очередь, стимулировалось, в частности, вопросами изучения движения планет, нуждами мореплавания и высшей геодезии.
В решении проблемы о вращении Земли начальные результаты принадлежат Даламберу и Эйлеру. Эйлер дал новую форму уравнения вращательного движения твердого тела, употребляемую и в наше время. Динамические уравнения Эйлера, определяющие движение абсолютно твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, представляют собой нелинейную систему трех дифференциальных уравнений второго порядка относительно эйлеровых углов ψ, θ, φ, как функций времени.
К середине XVIII века относится зарождение новой области анализа – дифференциальных уравнений в частных производных. Расширение исследований в области математического анализа стимулировалось, главным образом, развитием физики твердой среды и гидродинамики. Принципиальную недостаточность теории обыкновенных дифференциальных уравнений впервые обнаружил Даламбер и Эйлер при изучении малых колебаний струны, закрепленной на концах. Уже в первых исследованиях, связанных с уравнениями нового вида, выяснилось, что при
Решении таких уравнений возможна значительно большая произвольность, чем при решении любых обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому возник вопрос об удовлетворении решений более сложным дополнительным условиям. Дальнейшие исследования колебаний неоднородных струн, мембран, упругих стержней как Эйлером, так и его современниками требовали нахождения специальных методов для решения простейших смешанных задач для уравнений гиперболического типа второго и даже четвертого порядка.
Проблема звучащей струны имела, как известно, весьма существенное значение для развития всего математического анализа не только в XVIII веке, но и в XIX. В длительном споре о характере допустимых «произвольных функций», входящих в решении уравнений колебания струны, приняли участие почти все самые выдающиеся ученые эпохи: Даламбер, Эйлер, Д. Бернулли, Лагранж. В этом споре получило существенное развитие одно из самых основных понятий анализа – понятие функции. Наряду с проблемой колебаний струн и мембран стимулирующее влияние на развитие учения об уравнениях в частных производных оказали задачи гидродинамики. В отличие от гидростатики, история которой ведет свое начало от работ Архимеда, гидродинамика как наука сложилась только в середине XVIII века. Необходимость изучения законов движения жидкости диктовалась настоятельными потребностями практики расчетов мощных водяных двигателей, гидротехнических сооружений и возросшими потребностями кораблестроения. Стимулом значительного прогресса гидродинамики, достигнутого в 50-х годах XVIII века, было также развитие аналитических методов динамики материальной точки и системы точек.
Для решения основной задачи о взаимодействии среды с движущимися в ней телами необходимо было сформулировать основные законы движения жидкости. Ученые XVIII века в этом отношении не имели фактически никакого наследия. Первые попытки Галилея проанализировать сопротивление воздуха с количественной стороны и результаты Ньютона по изучению сопротивления, оказываемого жидкостью движущемуся в ней твердому телу, были совершено недостаточны. Необходимо было создать аналитические методы теоретической гидродинамики. Решением этой задачи математическое естествознание обязано Д. Бернулли, Даламберу, Эйлеру и Лагранжу. Первый выдающийся результат в этой области принадлежит Д. Бернулли, опубликовавшему в 1738 году свою знаменитую «Гидродинамику»[1]. Вслед за «Гидродинамикой» Д. Бернулли появился известный трактат Даламбера «О равновесии и движении жидкостей»[2]. Даламбер пришел, в частности, к парадоксальному заключению об отсутствии сопротивления при движении тела в жидкости, явившемуся следствием того, что он не учел значения всего обтекания тела при движении. В обсуждении этого явления вскоре принял участие Эйлер. Дальнейшее изучение «парадокса Даламбера – Эйлера» способствовало привлечению внимания исследователей к важнейшей проблеме гидродинамики – проблеме обтекания тел, движущихся в жидкости.