Методы оптимизации функций многих переменных (стр. 5 из 6)

Для каждой точки указать активные и пассивные ограничения. Проверить выполнение достаточных условий экстремума в найденных стационарных точках. Найти глобальный минимум функции. Используя критерий (утверждение 1), проверить, что найденная точка является седловой точкой функции Лагранжа.

Проверить справедливость оценки (9), решив задачу при положительных и отрицательных малых значениях приращения ∆b.

Решить задачу квадратичного программирования методом седловой точки. Для этого записать систему (17) - (18), найти ее решения, удовлетворяющие условиям (19) - (20).

3. Пример выполнения лабораторной работы

Минимизировать нелинейную функцию

при условиях и , применяя метод функции Лагранжа. Проверить справедливость оценки изменения целевой функции (9).

Допустимая область - часть сферы

, лежащая в подпространстве

, a= (1, 1,1).

Рассмотрим случай

. Если при этом , то .

Из (21) - (23) ®

, что противоречит (28).

Если

, то (иначе получаем противоречия в (21) - (23)).

Из (21) - (23) ®

. Подставим в (26): . Отсюда , что противоречит исходному предположению .

Рассмотрим теперь случай

.

Если

, то получаем точку (из (1′) … (3′), (7′)).

Остальные "симметричные" точки здесь и далее приводить не будем.

Если

, , , то

,

,

.

Далее получаем точки

и . , .

Для

значение

, для значение .

Если

, , то

Если

, то

и .

Следовательно,

и . Однако, , значит, пришли к

противоречию.

Таким образом,

.

Суммирование первых трех уравнений дает уравнение

,

в котором последнее слагаемое равно нулю, поэтому

.

С другой стороны,

и .

Следовательно,

,

откуда

. Если , то .

Разделим равенства на

: . Однако, если , то их произведение не может быть равно . Значит, . Если , получаем следующую систему:

.

Получаем точку

(в силу симметрии переменных х₁, х₂, х₃ координаты можно переставить),

, .

Предположив

, получим те же результаты.

Найдены следующие точки:

, , ;

, , , ;

, , , ;

, , , .

Запишем второй дифференциал обобщенной функции Лагранжа.

, , ;

.

является активным ограничением только для точки

.

Применим достаточное условие минимума второго порядка к этой точке: