О теории вероятностей (стр. 2 из 9)
Рис. Функция вероятности нормального распределения
8. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
При больших значениях n , для вычисления вероятности того, что произойдет от к1, до к2 событий по схеме
Бернулли, используется интегральная формула Муавра-Лапласа
Pn(k1≤k≤k2)=Ф(x2)- Ф(x1),
где x1=(k1-np) /(√npq), x2=(k2-np)/(√npq), Ф(x) – функция Лапласа. (рис.7)
Ф(х) имеет следующие свойства:
1. Ф(-х)= -Ф(х) - функция нечетная, поэтому достаточно изучать её для неотрицательных значений х
2. Функция Ф(х) возрастает на всей числовой оси;
Рис. Функция Лапласа
3. При х≥5, Ф(х)→1/2 (y = 0,5 горизонтальная асимптота при х>0), поэтому функция представлена в виде таблицы Для 0≤х≤5 (прил.1).
4. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях не более чем на некоторое число ε>0
9. Формула Пуассона
Если npq<10 и р<0,1, то
где λ=np.10. Случайные величины и их виды
Случайной величиной (СВ) называют такую величину, которая в результате опыта может принимать те или иные значения, причем до опыта мы не можем сказать какое именно значение она примет. (Более точно, СВ - это действительная функция, определенная на пространстве элементарных событий Q). Случайные величины обозначаются последними буквами латинского алфавита - X,Y,Z. Случайные величины могут быть трех типов: - дискретные, - непрерывные, - смешанные (дискретно-непрерывные). Дискретная случайная величина (ДСВ) может принимать конечное или бесконечное счетное число значений. Непрерывная случайная величина (НСВ) в отличие от ДСВ принимает бесконечное несчетное число значений. Например мишень имеет форму круга радиуса R. По этой мишени произвели выстрел с обязательным попаданием. Обозначим через Y расстояние от центра мишени до точки попадания, Ye [0; R]. Y - непрерывная случайная величина, так как она принимает бесконечное несчетное число значений.
Пусть X - дискретная случайная величина, которая принимает значения х1, х2, ...,хn,... с некоторой вероятностью рi, где i = 1, 2, ..., n,... Тогда можно говорить о вероятности того, что случайная величина X приняла значение хi: рi=Р(Х=хi).
ДСВ может также представляться в виде многоугольника распределения – фигуры, состоящей из точек, соединенных отрезками. Над СВ устанавливаются операции сложения и умножения.
Суммой двух СВ X и Y наз-ся случайная величина, которая получается в рез-те сложения всех значений случайной величины X и всех значений СВ Y, соответствующие вероятности перемножаются. Произведением двух СВ X и Y наз-ся СВ, которая получается в рез-те перемножения всех значений СВ X и всех значений СВ Y, соответствующие вероятности перемножаются.
11. Математическое ожидание
Математическим ожиданием М(Х) ДСВ X называется среднее значение случайной величины:
Или иначе, М(Х) - это сумма парных произведений случайной величины на соответствующую вероятность:
Мода Мо(Х) распределения - это значение СВ, имеющее наиболее вероятное значение.
Медиана Ме(Х) - это значение случайной величины, которое делит таблицу распределения на две части таким образом, что вероятность попадания в одну из них равна 0,5. Медиана обычно не определяется для ДСВ.
Свойства математического ожидания:
1) М(С)=С, где С=const;
2)М(СХ) = СМ(Х);
3) M(X±Y) = М(Х) ± M(Y);
4) Если случайные величины X и Y, независимы, то M(XY) = M(X)*M(Y).
Для биномиального распределения М(Х)=nр;
для геометрического распределения М(Х)= 1/р;
для распределения Пуассона М(Х)=λ;
для гипергеометрического распределения М(Х) = n(M/N).
12. Дисперсия ДСВ и ее свойства
Математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания:
D(X) = M(x-M(X)2) = =(х1-М(Х))2р1+(х2-М(Х))2р2+....+(xn-М(Х))2рn .(2.3.2)
Свойства дисперсии:
1) D(С) = 0, где С=соnst;
2) D(CX)=C2D(X);
3) D(X)=M(X2)-(M(X))2, где М(Х2) = х21 р1 + x22 p2 + ...+ х2n рn;
4) Если СВ X и Y независимы, то D(X±Y)=D(X) + D(Y);
5) D(OX)=D(X);
6) Для любых СВ X и Y, D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2cov(X,Y), где cov(X,Y)=M((X-mx)(Y-m )) - ковариация случайных величин X и Y (М(Х)= mx, M(Y)= m).
Дисперсия характеризует средний квадрат отклонения ДСВ, поэтому на практике часто используют в качестве характеристики разброса среднее квадратическое отклонение σ(Х)= √D(X) , которое имеет ту же размерность, что и СВ X.
Для биноминального закона
D(X)=npq, σ(X)=√npq;
для геометрического закона D(X)= q/p2;
для гипергеометрического D(X)=n(M/N)(1-M/N)(N-n)/(N-1);
для распределения Пуассона D(X)=λ.
Только для распределения Пуассона M(X)=D(X)= λ.
13. Показательное распределение.
НСВ X, принимающая неотрицательные значения, имеет показательное распределение, если ее дифференциальная функция имеет вид
где Я =const, Я >0.
Интегральная функция показательного закона с параметром λ:
Рис. Показательный закон
Если СВ X распределена по показательному закону, то:
1. Математическое ожидание М(Х) = 1/λ ;
2. Дисперсия D(X)=1/λ2, среднее квадратическое отклонение
σ(X)=√D=1/λ.
3. Вероятность попадания СВ X в заданный интервал определяется по формуле
Р(а≤х<b) = е-λа-е-λb.
Замечание. Показательное распределение играет большую роль в теории массового обслуживания (ТМО), теории надежности. В ТМО параметр X - среднее число событий, приходящихся на единицу времени. При определенных условиях число событий, произошедших за промежуток времени т, распределено по закону Пуассона с математическим ожиданием а =λτ. Длина промежутка t, между произвольными двумя соседними событиями, подчиняется показательному закону: P(T<t)=F(t)=l-eλt.
14. Закон распределения дискретной случайной величины
1. Биномиальный закон распределения. Случайная величина X принимает значения 0, 1, 2, 3, 4, 5,...,n, с вероятностью, определяемой по формуле Бернулли:
2. Закон распределения Пуассона. Случайная величина X принимает бесконечное счетное число значений: 0, 1, 2, 3, 4, 5,..., к,... , с вероятностью, определяющейся по формуле Пуассона:
где Х>0 - параметр распределения Пуассона.
При n→∞ и р→0 биномиальный закон приближается к закону распределения Пуассона, где λ, = np.
Геометрический закон распределения. Пусть Р(А)=р - вероятность наступления события А в каждом опыте, соответственно, q=l-p - вероятность не наступления события А.
Вероятность наступления события А в к-ом опыте определяется по формуле:
P(X=k)=p-qk-1. (2.2.2.)
Случайная величина X, распределенная по геометрическому закону принимает значения 1, 2,...,к,... , с вероятностью, определяемой по формуле (2.2.2):
4. Гипергеометрический закон распределения. Пусть в урне N-шаров, из них М белых, а остальные (N - М) черные. Найдем вероятность того, что из извлеченных n шаров m белых и (n-m) черных.
N= М + (N-M); n = m + (n-m);
СmM - число способов выбора m белых шаров из М;
Сn-mN-M- число способов выбора (n-m) черных шаров из (N-M).
По правилу произведения, число всех возможных наборов из m белых и (n-m) черных равно СmM Сn-mN-M;
CnN- общее число способов выбора из N шаров n.
Отсюда, по формуле классического определения вероятности, P(A)= (СmM Сn-mN-M)/ CnN
Ограничения на параметры: М≤N, m≤n; m = m0, m0 +1, m0+2,..., min(M,n), где m0=max{0, n-(N-M)}. Случайная величина Х, распределенная по гипергеометрическому закону распределения (при т=0,1,2,3,...,М), имеет вид:
Гипергеометрический закон определяется тремя параметрами N, М, n. При n<0,1N этот закон стремится к биномиальному.
Замечание.
1. В теории вероятностей различают две основные схемы: выбора элементов с возвращением каждый раз обратно и выбора без возвращения, которые описываются соответственно биномиальным и гипергеометрическим законами.
2. Геометрический закон описывает схему повторения опытов (в каждом из которых может наступить или не наступить событие А: Р(А)=р, q=l-p), до первого появления события А, то есть фактически это отрицательное биномиальное распределение при m=1.
16. Одинаково распределённые, взаимонезависимые дискретные случайные величины
СВ называют одинаково распределенными, если они имеют одинаковые законы распределения. Поэтому у них совпадают числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.