О теории вероятностей (стр. 4 из 9)
Закон распределения дискретной двумерной случайной величины можно представить в виде таблицы, характеризующей собой совокупность всех значений случайных величин и соответствующих вероятностей:
| x1 | x2 | … | xn | Σ P(yj) | |
| y1 | P(x1,y1) | P(x2,y2) | … | P(xn,y1) | P(y1) |
| y2 | P(x1,y2) | P(x2,y2) | … | P(xn,y2) | P(y2) |
| … | … | … | … | … | … |
| ym | P(x1,ym) | P(x2,ym) | … | P(xn,ym) | P(ym) |
| Σ Pxi | P(x1) | P(x2) | … | P(xn) | 1 |
В общем случае двумерная случайная величина задается в виде интегральной функции, которая означает вероятность попадания двумерной случайной величины в квадрант левее и ниже точки с координатами (х, y):
F(x, у) = Р(Х<х, Y<y).
21. Свойства интегральной функции:
1. F - не убывает и непрерывна слева по каждому аргументу.
2. F(-∞, у)= F(x,-∞)= F(-∞, -∞)= 0.
3. F(+∞, у)= F2(y) - функция распределения случайной величины Y. F(x,+∞)= F1,(x) - функция распределения случайной величины X.
4. F(+∞,+∞)=l.
Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямоугольник определяется исходя из определения интегральной функции двумерной случайной величины:
Р((х, у) c D) = F(β,δ) - F(α,β) - F(β,γ) + F(α,γ).
Рис. Вероятность попадания точки (х, у) в прямоугольник D
Случайные величины X, Y независимы, если
F(x, у) = = F1(x)* F2(y).
Дифференциальная функция системы двух непрерывных случайных величин определяется как вторая смешанная производная функции распределения:
f(x,y)=(∂2F(x,y))/∂x∂y=F″xy(x,y).
Свойства дифференциальной функции:
l.f(x,y)>0;
Геометрически свойство 2 означает, что объем тела, ограниченного поверхностью f (x, у) и плоскостью XOY, равен 1.
Если случайные величины X и Y независимы, то
f(x,y) = f1(x) f2(y), где f1(x)=F’1(x),f2(y)=F’2(y).
В противном случае
f ( x , у ) = f1( x ) f ( y / x )
или f ( x, y) = f2( y ) f (x / y ),
где f(y/x)=f(x,y)/f1(x) - условная дифференциальная функция CB Y при заданном значении
X = x, f(y/x)=f(x,y)/f2(x) - условная дифференциальная функция СВ X при заданном значении Y= у;
- дифференциальные функции отдельных случайных величин X и Y, входящих в систему.22. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции
Начальным моментом порядка s,h системы двух случайных величин X, Y называется математическое ожидание произведения степени s случайной величины X и степени h случайной величины Y:
αs,h =M(XsYh)
Центральным, моментом порядка s, h системы СВ (X, Y) называется математическое ожидание произведения степеней s, h соответствующих центрированных случайных величин:
μs,h =M(XSYh), где X =X-М(X),
Y=Y-М(Y)
-центрированные случайные величины X и Y.
Основным моментом порядка s, h системы СВ (X,Y) называется нормированный центральный момент порядка s, h:
Начальные моменты α1.0, α0,1
α1.0=M(X1Y0)=M(X); α0.1=M(X0Y1)=M(Y).
Вторые центральные моменты:
μ2,0=M(X2Y0)=M(x-M(X))2=D(X)
- характеризует рассеяние случайных величин в направлении оси ОХ.
μ2,0 = M(X0Y2) = M(y-M(Y))2 = D(Y)
- характеризует рассеяние случайных величин в направлении оси OY.
Особую роль в качестве характеристики совместной вариации случайных величин X и Y играет второй смешанный центральный момент, который называется корреляционным моментом - K(X,Y) или ковариацией –
cov(X,Y): μ1,1=K(X,Y)=cov(X,Y)=M(X1Y1)=M(XY)-M(X)M(Y).
Корреляционный момент является мерой связи случайных величин.
Если случайные величины X и Y независимы, то математическое ожидание равно произведению их математических ожиданий:
М (XY)= М (X) М (Y), отсюда cov(X,Y)=0
Если ковариация случайных величин не равна нулю, то говорят, что случайные величины коррелированны. Ковариация может принимать значения на всей числовой оси, поэтому в качестве меры связи используют основной момент порядка s=1, h=1 ,который называют коэффициентом корреляции:
Свойства коэффициента корреляции:
1. -1<rху<1.
2. Если r = +1, то случайные величины линейно зависимы;
3. Если rху = 0, то случайные величины некоррелированны, что не означает их независимости вообще.
Замечание. Если случайные величины X и Y подчиняются нормальному закону распределения, то некоррелированность СВ X и Y означает их независимость.
23. Функции случайных величин
Закон распределения функции случайных величин.
Пусть имеется непрерывная случайная величина X с функцией плотности вероятности f(x). Другая случайная величина Y связана со случайной величиной X функциональной зависимостью: Y=φ(X). Случайная точка (X, Y) может находиться только на кривой у=φ(х).
Дифференциальная функция случайной величины Y определяется при условии, что φ(х) - монотонна на интервале (а,b), тогда для функции φ(х) существует обратная функция: φ-1= Ψ, x= Ψ(x).
Обычно, числовая прямая разбивается на n промежутков монотонности и обратная функция находится на каждом из них, поэтому g(y) -дифференциальная функция СВ Y определяется по формуле
Замечание.
Математическое ожидание и дисперсию СВ Y - функции случайной величины X(Y=φ(x)), имеющей дифференциальную функцию f(x), можно определить по формулам:
24. Композиция законов распределения
В приложениях часто рассматривается вопрос о распределении суммы нескольких случайных величин. Например, пусть Z=X+Y, тогда G(z) -интегральную функцию СВ Z можно определить по формуле
где: f(х,у)-дифференциальная функция системы случайных величин (X,Y);
область D - полуплоскость, ограниченная сверху прямой y= z-x.
Отсюда
g(z) = G'(z) = ∫f(x, z - x)dx.
Если Х и Y независимы, то говорят о композиции законов распределения случайных величин и дифференциальная функция СВ Z определяется как g(z)=f1 (x) f2(z-x)dx, где f ,(х) и f2(y) дифференциальные функции СВ X и Y соответственно.
Если возможные значения аргументов неотрицательны, то дифференциальную функцию СВ Z определяют по формуле
Или
25. Понятие и виды статистических гипотез.
Статистическая гипотеза – всякое высказывание о генеральной совокупности, проверяемое по выборке. Статистические гипотезы делятся на: 1. параметрические – гипотезы, сформулированные относительно параметров (среднего значения, дисперсии и т.д.) распределения известного вида; 2. непараметрические – гипотезы, сформулированные относительно вида распределения (например, определение по выборке в степени нормальности генеральной совокупности). Процесс использования выборки для проверки гипотезы называется статистическим доказательством. Основную выдвигаемую гипотезу называют нулевой Н0. Наряду с нулевой гипотезой рассматривают ей альтернативную Н1.
26. Выборочный метод
В реальных условиях обычно бывает трудно или экономически нецелесообразно, а иногда и невозможно, исследовать всю совокупность, характеризующую изучаемый признак (генеральную совокупность). Поэтому на практике широко применяется выборочное наблюдение, когда обрабатывается часть генеральной совокупности (выборочная совокупность). Свойства (закон распределения и его параметры) генеральной совокупности неизвестны, поэтому возникает задача их оценки по выборке. Для получения хороших оценок характеристик генеральной совокупности необходимо, чтобы выборка была репрезентативной (представительной). Репрезентативность, в силу закона больших чисел, достигается случайностью отбора.
Различают 5 основных типов выборок. 1).Собственно-случайная: а) повторная (элементы после выбора возвращаются обратно); б) бесповторная (выбранные элементы не возвращаются).
2). Типическая - генеральная совокупность предварительно разбивается на группы типических элементов, и выборка осуществляется из каждой. Следует различать: а) равномерные выборки (при равенстве объемов исходных групп в генеральной совокупности выбирается одинаковое количество элементов из каждой); б) пропорциональные (численность выборок формируют пропорционально численностям или средним квадратическим отклонениям групп генеральной совокупности); в) комбинированные (численность выборок пропорциональна и средним квадратическим отклонениям, и численностям групп генеральной совокупности).
3) механическая отбор элементов проводится через определенный интервал.