Теорема Гурвица и ее приложение (стр. 2 из 7)

Характеристика поля - пусть P-поле. Если существует такое целое положительное n, что для каждого

выполняется равенство n·r=0, то наименьшее из таких чисел n называется характеристикой поля P. Обозначение - char P.

Кососимметричная матрица- квадратная матрица А над полем P характеристики

такая, что , где — транспонированная матрица.

Линейная независимость системы векторов: Система векторов

называется линейно независимой, если существует только тривиальная линейная комбинация данных векторов равная нулевому вектору.

3. Теорема Ферма

Какие целые числа можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел? Это один из самых старых вопросов теории чисел, восходящий, по крайней мере, к Диофанту. Полный ответ на данный вопрос дал Пьер де Ферма (французский математик, 17 августа 1601 — 12 января 1665). Напишем первые несколько целых чисел, представимых в виде суммы квадратов

0; 1; 2; 4; 5; 8; 9; 10; 13; 16; 17; 18; 20; 25; 26; 29; 32; 34; 36; 37; 40; 41; 45;

49; 50; 52; 53; 58; 61; 64; 65; 68; 72; 73; 74; 80; 81; 82; 85; 89; 90; 97; 98; 100

Можно сделать несколько экспериментальных выводов. Во-первых, не каждое число представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 3, 6, 11, 12 не представляются в таком виде. Более того, можно заметить, что ни одно число вида 4к+3 не представляются в виде суммы двух квадратов (при целом к). Во-вторых, если каждое из двух чисел является суммой квадратов, то таково и их произведение. Можно сделать и другие заключения.

Остановимся более детально на втором заключении и попробуем обосновать его. Справедлива формула

(1)

Действительно,

и

Из этой формулы, в частности, вытекает, что если каждое из чисел a и b можно представить как сумму квадратов двух целых чисел, то их произведение тоже представимо в таком виде. Формула (1) является простым следствием коммутативного, ассоциативного и дистрибутивного законов.

Формула (1) важна для теории чисел. В следующих разделах мы обсудим ее теоретико-числовые приложения, а также и другие аналогичные формулы, важные для теории чисел.

Теорема 1 (Ферма): Для того чтобы нечётное простое число было представимо в виде суммы двух квадратов, необходимо и достаточно, чтобы оно при делении на 4 давало в остатке 1.

Доказательство: Доказательство принадлежит Жозе́фу Луи́ Лагра́нжу (25 января 1736, Турин — 10 апреля 1813, Париж, французский математик).

Оно опирается на следующую лемму Вильсона: если p - простое число, то число (p-1)!+1 делится на p.

Чтобы не отвлекаться на доказательство этого вспомогательного факта, продемонстрируем лишь основную идею этого доказательства на примере простого числа 13. Для любого числа x: 2

x 11, найдется такое число y: 2 y 11, что x*y при делении на 13 дает в остатке 1. Действительно, (13-1)!=12!=(2* 7)(3* 9)(4* 10)(5* 8)(6* 11)* 12, и при этом все произведения в скобках при делении на 13 дают в остатке 1, а значит, 12! при делении на 13 даст в остатке 12, откуда (для выбранного нами числа 13) следует утверждение леммы Вильсона. Обобщение, приведенной выше идеи, приводит к доказательству леммы Вильсона и в общем случае.

Из леммы Вильсона извлечем такое следствие: если p=4n+1, где n - натуральное число, то ((2n)!)

+1 делится на p. Действительно, из леммы Вильсона следует, что (4n)!+1 делится на p, и теперь необходимое утверждение вытекает из следующей выкладки:

(4n)!+1=(2n)!(2n+1)*...*(4n)+1=(2n)!(p-2n)(p-(2n-1))*...*(p-1)+1=(2n)!*

*(-1)²ⁿ(2n)!+pk+1

((2n)!) +1(mod p).

Обозначим (2n)! через N. Мы доказали, что N²

-1(mod p).

Теперь рассмотрим все пары целых чисел (m,s), такие что 0

m [ ], 0 s [ ], через [ ] обозначена целая часть числа - наибольшее целое число, не превосходящее . Число таких пар ([ ]+1)>p². Значит, по крайней мере, для двух различных пар ( ) и ( )остатки от деления ,

на p одинаковы, т. е. число a+Nb, где a=m -m₂, b=s -s₂, будет делиться на p. При этом |a| [ ], |b| [ ]. Но тогда число a -N b =(a+Nb)(a-Nb) делится на p, и значит, учитывая, что N² (mod p), получим, что a +b² делится на p, т. е. a +b =rp где r - натуральное число (r 0, иначе пары были бы одинаковы). С другой стороны, a +b2

[ ] <2p, т. е. r=1, и значит, a +b =p. Теорема доказана.

Пример 1:

, , , ,

Вопрос о представлении чисел в виде суммы двух квадратов исчерпывается следующим утверждением: Для того чтобы целое рациональное число было представимо в виде суммы двух квадратов, необходимо и достаточно, чтобы простые числа вида 4n+3 входили в разложение этого числа на простые сомножители в четных степенях. [3]

4. Вопрос Гурвица

Вернемся к формулам с суммами квадратов. Теперь нас интересует такая алгебраическая задача: какие формулы с суммами квадратов можно написать для случая многих переменных? Сформулируем эту задачу более точно. Рассмотрим формулу вида

(2),

в которой все

- билинейные комбинации переменных и . Билинейные комбинации-выражения вида и т.д., а также суммы таких выражений, взятых с произвольными действительными коэффициентами. Формулу (2) будем называть формулой типа (r,s,n).