Теорема Гурвица и ее приложение (стр. 3 из 7)

Существует формула типа (4, 4, 4). Это связано со знаменитой алгеброй кватернионов, построенной Уильямом Роуэном Гамильтоном (1806—1865, ирландский математик).

, где

,

,

,

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

0 -1 0 0 , = 1 0 0 0 , 0 0 0 -1 , 0 0 1 0

0 0 -1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 -1 0 0

0 0 0 -1 0 0 -1 0 0 1 0 0 1 0 0 0

Комплексные числа удобно отождествлять с точками плоскости, поскольку они имеют две координаты – вещественную часть и мнимую. По аналогии с комплексными числами, Гамильтон долго пытался построить «трехмерные числа», т.е. наделить точки трехмерного пространства естественными операциями сложения и умножения, удовлетворяющими некоторым естественным свойствам. Однако, ему это не удалось. Более того, в некотором естественном смысле, таких «хороших» операций не существует. Все же поиски были не бесполезны. В результате своих поисков Гамильтон наткнулся на замечательную и естественную конструкцию «четырехмерных» чисел – кватернионов.

Кватернионом называется выражение вида

,

в котором i, j, k – формальные символы, не являющиеся действительными числами. Эти символы удовлетворяют следующим соотношениям:

, ,

Первая серия соотношений состоит в том, что каждое из чисел i, j, k является мнимой единицей. Вторая серия соотношений содержит 2 вещи. Первая – мнимые единицы i, j, k антикоммутируют. Кроме этого, вторая серия соотношений выражает произведение любых двух мнимых единиц из трех указанных через эти же самые мнимые единицы. Как складывать и перемножать произвольные кватернионы? Для этого нужно воспользоваться правилами умножения мнимых единиц i, j, k, а также всеми обычными законами сложения и обычным законом дистрибутивности. Например,

Теорема 2: Умножение кватернионов ассоциативно, т.е. для любых трех кватернионов

выполнено равенство

Кватернион

называется сопряжённым к .

Так же, как и для комплексных чисел,

называется модулем q (или нормой q).

Теорема 3: Для любой пары кватернионов

выполнено соотношение

Доказательство:

Эту формулу можно интерпретировать как формулу типа (4, 4, 4) для произведения сумм квадратов.

Формула типа (8, 8, 8) была найдена в 1845 году английским математиком А.Кэли.

А. Гурвиц в 1898 году поставил следующий вопрос, который до сих пор является открытым: Для каких целых чисел r, n, s существует формула типа (r, s, n) для произведения сумм квадратов?

Этот вопрос имеет несколько вариантов. В формуле типа (r, s, n) сумма квадратов r переменных, умноженная на сумму квадратов s переменных, представляется в виде суммы квадратов n билинейных форм от этих двух групп переменных. Однако коэффициенты в этих билинейных формах могут быть целыми, вещественными, комплексными и т.п. Ни в одной из этих ситуаций, на вопрос Гурвица не найдено полного ответа. Кажется, что ответ должен зависеть от выбора коэффициентов. Для всех известных примеров формул с комплексными коэффициентами, существуют формулы того же типа с вещественными и даже целыми коэффициентами.

5. Теорема Гурвица

Рассмотрим n-мерное Евклидово пространство

. Если , то его длиной называют число . Естественно поставить

Вопрос 1. Для каких n существует билинейное отображение

такое, что для любых ?

Заметим, что, если выполнено это условие

, то -алгебра без делителей нуля (т.к. и либо а=0, либо b=0). Более того, если , то для любого и разрешимо уравнение и . Т.к. отображения и имеют нулевые ядра и следовательно являются сюръективными (т.е. является телом, вообще говоря неассоциативным и некоммутативным). Если ортонормированный базис , то и если , то , где и условие эквивалентно следующему вопросу.

Вопрос 2: Для каких n существует тождество

, где -любые действительные числа, и матрицы являются постоянными, т.е. не зависят от ?

В 1989 году Гурвиц доказал, что представлять произведение целых чисел в виде сумм квадратов целых чисел можно только для множителей, состоящих из сумм двух, четырех и восьми квадратов.

Теорема 4: Вопросы 1-2 имеют решение только при n=1,2,4,8.

Доказательство: Будем считать, что

. Положим , . Тогда равенство = , где переписывается в виде

= .

Фиксируем

и рассмотрим левую и правую части многочлена от .Тогда