Теорема Гурвица и ее приложение (стр. 4 из 7)
, 
, 
Если
, то предыдущие равенства равносильны 
. Перепишем 
, где 
(т.е. 
не зависит от 
). Тогда из равенства 
следует эквивалентное равенство 
, сравнивая коэффициенты при 
, последнее влечет за собой 
, i=1,2,..,n и ,следовательно, 
. Положим 
. Тогда предыдущее равенство можно переписать в виде: 
, 
*
.Сравнивая коэффициенты при
, получим, что 
, 
, 
. Получим 
, 
или 
, 
, 
. Покажем, что существование таких матриц 
влечет за собой, что n=2,4,8. 
-кососимметричная и невырожденная. Значит n-четное число. В частности 
Породим этими матрицами подалгебру
Матрица вида
, где 
является системой K . Их число равно 
. Покажем, что, по меньшей мере, 
из них линейно независимы. Для этого сначала заметим, что 
, 
удовлетворяет 
==
В частности М - симметричная тогда и только тогда, когда
, либо 
. Если существует соотношение 
, где 
-слева от 
, то можно считать, что все 
и все собственные подмножества 
являются линейно независимыми. Тогда, умножая на 
, получим соотношение вида: 
. При этом все 
являются симметричными (ввиду линейной независимости 
).Пусть
вовлекает наименьшее число факторов r . Тогда 
.Если
и , то выберем 
и умножим левую и правые части на 
. Получим, что 
. Т.к. -кососимметричная, а 
-симметричная, то получили противоречие.Если
, то умножим обе части на 
. Получим, что 
, где 
( их количество 4e-1) – симметричная матрица, а слева кососимметричная матрица. Противоречие. Следовательно, 
и 
, и как показывают рассуждения выше, либо 
, либо 
. Если 
, то, умножая на 
, получим, что 
(их число n-2=4e-1) – симметричная. Противоречие. следовательно 
. В частности, если 
и , то получаем противоречие, т.е. 
. Пусть . Докажем, что 
- линейно независимы. Их число равно 
. Действительно, если между ними есть линейно зависимые, то получим, что 
, где длина 
, 
Длина
Т.е. мы не получили
. Противоречие.Итак,
и 
. Это возможно при 
. Если n<10, то при n=2,4,8 теорема верна. Далее n-четное число. Осталось понять, что при n=6 кососимметричные матрицы из 
линейно независимы. 
в 
.С другой стороны, среди
, где 
(их число равно 32) количество кососимметричных равно 
. Т.к. 
, то все эти матрицы 
линейно независимы. В частности и эти линейно независимы 
. С другой стороны их число меньше 15. Противоречие. (Можно сослаться что , 6-не подходит).