Теорема Гурвица и ее приложение (стр. 6 из 7)

, если и (0,0)=0

В данном случае свойство 2 очевидно, 2-е свойство вытекает из

, 3-е из . Для доказательства 1-го свойства следует написать

и учесть, что модуль комплексного числа а строго положителен, если

, и равен нулю, если а=0.

Заметим, что из последнего равенства следует

, т.е. норма элемента а в алгебре А совпадает с модулем а как комплексного числа (или кватерниона).

Т.к. любые 2 элемента a и b алгебры А принадлежат одной комплексной или одной кватернионной подалгебре, то

(ведь алгебра комплексных чисел, так же как и алгебра кватернионов, является нормированной), или (ab,ab)=(a,a)(b,b). Но это равенство как раз и означает нормированность алгебры А. Дальше вступает теорема Гурвица, согласно которой алгебра А изоморфна одной из четырех алгебр: действительных чисел, кватернионов, октав. В этом как раз и заключается обобщенная теорема Фробениуса.[7]

Приведем еще одно применение теоремы Гурвица (или тождества Гамильтона).

Теорема Лагранжа.

.

Лемма. Для любого простого числа p>2 найдется число

, такое что mp=a +b +c , a, b, c .

Доказательство:

Рассмотрим два множества чисел:

K={0, 1, 4, ...,

}, L={-1-0, -1-1, -1-4, ..., -1- }.

В каждом из множеств числа попарно несравнимы по модулю p. В самом деле, возьмем

из множества K (или, эквивалентно, -1-k -1-k из множества L), где , . Если k k (mod p), то (k +k )(k -k ) 0 (mod p). . Но 0< k +k <p и 0<| k -k |<p, поскольку k <p/2, k <p/2 и . Противоречие.

Всего в этих двух множествах p+1 чисел, следовательно, среди них найдутся сравнимые по модулю p, т. е. такие числа

из первого множества и из второго, что . Откуда для некоторого . Теперь, поскольку k<p/2, <p/2, получаем mp= < < , а значит, m<p. Лемма доказана.

Доказательство теоремы Лагранжа:

Докажем, что любое простое число представимо в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Для p=2 имеем

. Для p>2, по предыдущей лемме, найдется такое m<p, что число mp можно представить в виде mp= (n можно положить равным 0). Выберем теперь минимальное натуральное m, обладающее таким свойством. Покажем, что оно равно 1. Пусть m четно. Тогда либо все n имеют одинаковую четность, либо среди них есть два четных и два нечетных (нумерация этих чисел не важна, поэтому пусть n n (mod 2), а n n (mod 2). В обоих случаях числа

являются целыми. Имеем:

= ,

значит,

также представляется в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Но , а m, по предположению, минимальное число с таким свойством. Противоречие.

Пусть m нечетно. Тогда числа n

можно представить в виде n =q m+m ( ). причем |m |< . Тогда

mp=

=sm+ ,

где s - некоторое целое число.

Следовательно,

=mn , где n - неотрицательное целое число. Если n=0, то все m =0, n =q m, и тогда mp= =m k, где k - натуральное, т. е. p=mk, m<p, а это означает, что m=1. Предположим теперь, что n 1. По теореме Гурвица получаем

(

)( )= , где

s

= ,

s

= ,

s

= ,