Основные понятия математического анализа (стр. 2 из 4)

Подставляя

в начальное условие , находим вполне определенные значения постоянной С. Тогда является частным решением уравнения.

Геометрически частное решение обозначает: начальное условие задает некоторую точку на плоскости и из семейства кривых (общее решение) выбирается та единственная кривая, которая проходит через эту точку.

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения (теорема Коши).

Если в дифференциальном уравнении y=f(x,y) функция f(x,y) и ее частная производная

определены и непрерывны в некоторой области Д на плоскости ХОУ, то какова бы ни была внутренняя точка (х0,у0) этой области, данное уравнение имеет единственное решение , удовлетворяющее начальному условию у=у0 при х=х0.

Геометрически смысл заключается в следующем: каждой точке (х0,у0) области Д соответствует только одна интегральная кривая, проходящая через эту точку (каждой точке соответствует только одно частное решение).

Замечание. “Найти частное решение”=“Решить задачу Коши”.

Существует 4 вида дифференциальных уравнений первого порядка.

1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Дифференциальные уравнения первого порядка в общем виде можно записать либо через производные F(x,y,y’)=0, либо через дифференциалы

.

Дифференциальное уравнение- уравнение с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде:

-

- через производную.

-

- через дифференциал.

В этих уравнениях в произведениях стоят функции, каждая из которых зависит от одной переменной (х или у). Т.е. уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными, если его можно преобразовать так, чтобы в одной его части была только одна переменная, а в другой – только другая.

Замечание. При решении дифференциальное уравнение ответу можно придать различную форму в зависимости от того, как записана произвольная постоянная С.

Решение.

-

; -интегрируем и получаем решение.

-

;

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Функция f(x,y) называется однородной функцией n–го измерения, если при любом

выполняется условие: .

Дифференциальное уравнение y’=f(x,y) есть однородное, если функция f(x,y) является однородной функцией нулевого измерения.

Дифференциальное уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 однородное, если P(x,y) и Q(x,y) являются однородными функциями одного и того же измерения.

P(x,y)dx=-Q(x,y)dy;

Однородное уравнение всегда можно привести к виду

и с помощью замены однородное уравнение всегда приводится к уравнению с разделяющимися переменными ( ; y=xt; y’=t+xt’).

Линейные дифференциальные уравнения

ЛДУ- уравнения вида y’+P(x)y=Q(x)– первого порядка относительно у и у’.

Для решения ЛДУ применяем замену: y=UV, тогда y’=U’V+UV’

U’V+UV’+P(x)UV=Q(x)

V(U’+P(x)U)+UV’=Q(x)

Далее U’+P(x)U=0, получаем два уровнения с разделяющимися переменными:

1). U’+P(x)U=0 находим U.

2). UV’=Q(x) находим V. . С ставится только при вычислении второго уравнения.

Замечание. Выражение, стоящее в скобках, можно прировнять к нулю, т.к. одну из функций можно взять произвольной, другую – определяем на основании ЛДУ.

Уравнения Бернулли

УБ- дифференциальные уравнения вида y’+P(x)y=Q(x)*yⁿ, где

- т.к. при этих значениях уравнение будет линейным.

УБ решаются так же, как и линейные.

Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальные уравнения второго порядка в общем виде записываются: F(x,y,y’,y’’)=0

Как и в случае дифференциальных уравнений первого порядка для решения дифференциальных уравнений второго порядка существуют общее и частное решения. Но, если для дифференциальных уравнений первого порядка решение зависело от одной константы С, то для дифференциальных уравнений второго порядка решение зависит от двух постоянных:

- общее решение.

Если заданы начальные условия (у=у0, у=у0 при х=х0), то получаем частное решение, удовлетворяющее этим начальным условиям.

Начальные условия так же могут задаваться в виде:

у=у0 при х=х0; у=у1 при х=х1.

Три случая понижения порядка

1. Случай непосредственного интегрирования

F(x,y”)=0

y’’=f(x)- решение этого уравнения находится путем двукратного интегрирования.

; ; ;

2. Когда дифференциальное уравнение явно не содержит у, т.е. F(x,y’,y”)=0

С помощью замены у’=р;

это уравнение приводим к уравнению первого порядка .

3. Когда дифференциальное уравнение явно не содержит х, т.е. F(y,y’,y”)=0.

С помощью замены y’=p,

это уравнение приводим к уравнению первого порядка .

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейными однородными дифурами второго порядка с постоянными коэффициентами называются уравнения вида:

y’’+py’+qy=0,

где p и q – некоторые числа.

Составим характеристическое уравнение:

,

которое получается из данного уравнения путем замены в нем производных искомой функции соответствующими степенями “к”. Причем сама функция заменяется единицей.

Если к1 и к2 – корни характериситического уравнения, то общее решение однородного уравнения имеет один из следующих трех видов:

1).

, если к1 и к2 – действительные и различные, т.е. D>0.

2).

, если к1 и к2 – действительные и равные, т.е. к1=к2, D=0.

3).

, если к1 и к2 – комплексные, т.е. ; D<0.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Имеют вид:

,

где p и q– некоторые числа.

Общее решение имеет вид:

, где

y0 - общее решение соответствующего однородного уравнения;

- частное решение соответствующего однородного уравнения.

Т.е. для нахождения общего решения неоднородного уравнения ‘у’, сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения у0, а затем частное решение

, и складывают их.

Частное решение неоднородного уравнения находится методом неопределенных коэффициентов.

Для нахождения частных решений

рассмотрим несколько случаев.

1. Пусть правая часть f(x) имеет вид:

, где P_n(x) – многочлен n–ой степени.

Тогда возможны следующие 3 случая: