Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів (стр. 1 из 3)

МОДЕЛЮВАННЯ НА ЕОМ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН І ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ

Содержание

Вступ

1. Принципи моделювання на ЕОМ випадкових елементів

2. Моделювання випадкових величин із заданими ймовірнісними характеристиками

Моделювання випадкових величин, що приймають дискретні значення

Моделювання випадкових величин із заданими щільностями імовірностей методом обернених функцій

Моделювання випадкових величин із заданими щільностями імовірностей методом суперпозиції

Моделювання гаусових випадкових величин методом сумації

Моделювання випадкових величин із експоненціальним розподілом та розподілом Релея

Вступ

При статистичному моделюванні на ЕОМ систем та мереж зв’язку виникає необхідність моделювання різних випадкових елементів - одержання на ЕОМ реалізацій випадкових величин та випадкових процесів, які описують реальні фізичні явища, події та процеси функціювання цих систем. Розглянемо основні принципи, методи та алгоритми моделювання на ЕОМ типових випадкових величин та випадкових процесів, що можуть бути використані для статистичних випробовувань при моделюванні систем та мереж зв’язку на ЕОМ.

1. Принципи моделювання на ЕОМ випадкових елементів

При моделюванні випадкових елементів (ВЕ) на ЕОМ розглядають три об'єкти: реальний фізичний об'єкт, його математичну модель, алгоритм моделювання на ЕОМ реалізацій ВЕ на основі вибранної математичної моделі. Наприклад, в системах та мережах зв'язку такими реальними фізичними об'єктами можуть бути повідомлення, сигнали-переносчики, модульовані сигнали, завади, потоки заявок, процеси обслуговування заявок, процеси комутації. Математичні моделі цих фізичних процесів - це різні класи випадкових процесів з імовірнісними характеристиками, що відповідають реальним фізичним процесам. Результатом моделювання на ЕОМ є вибірки реалізацій процесів, що одержуються за допомогою спеціальних моделюючих алгоритмів. Моделювання ВЕ базується на таких принципах:

ВЕ визначається (“конструюється”) як відповідна борелівська функція від найпростіших базових випадкових величин (БВВ);

повинна бути забезпечена близькість (за вибраним критерієм) імовірнісних характеристик реальних фізичних процесів та змодельованих реалізацій випадкових процесів.

БВВ одержують в результаті проведення на ЕОМ найпростішого випадкового експерименту.

Експеримент полягає в “киданні точки навмання“ в інтервал [0,1) (мал.1). Математичною моделлю такого експерименту є ймовірнісний простір

, де - це простір незалежних елементарних подій ; - це елементарна подія, яка полягає в тому, що координата кинутої точки дорівнює ; - це -алгебра, що породжена напівінтервалами з простору ; - це імовірнісна міра, яка визначена для підмножин і збігається з мірою Лебега, так що

Рисунок 1 - Графічне пояснення найпростішого випадкового експерименту для одержання реалізацій БВВ

Випадкова величина

, що задана на просторі , породжує інший імовірнісний простір , де - це множина значень на числовій осі; - борельова алгебра, - індуктована імовірнісна міра. Фактично, - це функція розподілу БВВ , що у даному випадку має вигляд

(1)

Відповідна їй щільність розподілу рівномірна на півінтервалі [0,1]

(2)

На рис.2 наведені графічні зображення функції і щільності розподілу ВВ

.

моделювання випадкова величина алгоритм

а б

Рисунок 2 - Графічне зображення функції розподілу (а) та щільності розподілу (б) БВВ.

У кожній ЕОМ є генератори (спеціальні програми) одержання випадкових величин, що мають вказані ймовірнісні характеристики. При послідовному звертанні

раз до таких програм моделюється вибірка із незалежних реалізацій БВВ , яка в подальшому використовується для побудови ВЕ із необхідними ймовірнісними характеристиками.

При моделюванні на ЕОМ складних ВЕ, зокрема, випадкової величини (ВВ) або випадкового процесу (ВП) з заданими ймовірнісними характеристиками розглядається складний випадковий експеримент, що полягає в проведенні

раз описаного вище найпростішого експерименту. Цей складний експеримент описується імовірнісним простором , де - декартовий добуток: ; - найменша - алгебра, що побудована на ; - імовірнісна міра, отримана як добуток імовірнісних мір для найпростішого експерименту.

В результаті проведення такого складного експерименту отримуємо

БВВ. Далі відповідно до першого принципу моделювання ВЕ на ЕОМ будь-який складний випадковий елемент отримується як борелівська функція від БВВ

. (4)

Підбирають функцію

і число таким, щоб імовірнісні характеристики отриманого ВЕ збігалися з імовірнісними характеристиками оригіналу, що моделюється. Існують різні критерії близькості імовірнісних характеристик ВЕ - оригіналу і ВЕ, отриманого при моделюванні, зокрема, критерій Пірсона, критерій Колмогорова.

2. Моделювання випадкових величин із заданими ймовірнісними характеристиками

Оскільки моделювання випадкових процесів на ЕОМ зводиться до моделювання послідовності випадкових величин із заданими ймовірнісними характеристиками, спочатку розглянемо особливості моделювання деяких випадкових величин.

Моделювання випадкових величин, що приймають дискретні значення

Розглянемо моделювання випадкових величин

, що приймають дискретних значень із заданими ймовірностями ( ). Моделювання таких ВВ може бути зведене до моделювання повної групи незалежних подій, які відбуваються з імовірностями . Для цього використовується датчик БВВ із математичною моделлю .