О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1 (стр. 3 из 5)

Так как для любого pÎω справедливо включение, то применяя лемму 1 заметим, что F – p-локальная формация. Следовательно формация F является ω-локальной или ω-насыщенной. Лемма доказана.

Лемма 16. Пусть A – простая группа, M и X – некоторые непустые формации. Тогда если A

MVX, то A M X.

Доказательство. Предположим, что A

M X=F. Тогда в силу леммы 2 в F найдется группа H с такими нормальными подгруппами N, M, N1, ..., Nt, M1, ..., Mt (t 2), что выполняются условия: (1) H/N A, M/N=Soc(H/N); (2) N1∩…∩ Nt=1; (3) H/Ni – монолитическая F-группа с монолитом Mi/Ni, который H-изоморфен M/N; (4) M1∩…∩ Mt M.

Ввиду леммы 3 имеем [Mi/Ni]((H/Ni)/

) form(H/Ni).

Пусть A – группа простого порядка. Тогда ввиду (1) M/N=H/N – абелев фактор.

Поэтому CH(M/N)=H. В силу условия (3) CH(Mi/Ni)=CH(M/N)=H. Поскольку

=CH(Mi/Ni)/Ni, то (H/Ni)/

H/CH(Mi/Ni)=H/H=1. Значит, Mi/Ni form(H/Ni). Но ввиду (3) H/Ni F=M X. Поскольку M и X – формации, то A Mi/Ni M X.

Пусть теперь A – простая неабелева группа. Тогда в силу леммы 10 получаем A

M X. Лемма доказана.

Доказательство теоремы 1. Необходимость. Пусть

-разложимый lω-дефект формации F равен 1. Так как F не является -разложимой формацией, то по лемме 4 в F входит некоторая минимальная ω-насыщенная не -разложимая подформация H1. По условию M=X∩F – максимальная ω-насыщенная подформация в F. Значит, F=MVωH1.

Достаточность. Пусть F=MVωH1, где M – ω-насыщенная

-разложимая подформация формации F, H1 – минимальная ω-насыщенная не -разложимая подформация F. Понятно, что F X. Пусть -разложимые lω-дефекты формаций F, M и H1 равны соответственно t, m и r. Поскольку M – ω-насыщенная -разложимая формация, то m=0. Так как H1 – минимальная ω-насыщенная не -разложимая формация, то ее -разложимый lω-дефект r равен 1. В силу леммы 5 для -разложимого lω-дефекта формации F имеет место неравенство t m+r = 0+1 = 1.

Если t = 0, то F –

-разложимая формация, что противоречит условию F X. Таким образом, |F:F∩X |ω=1.

Докажем теперь справедливость утверждения 1) второй части теоремы.

Так как X∩H1 – максимальная ω-насыщенная подформация в H1, то, в силу леммы 6, имеет место решеточный изоморфизм

(((X∩H1)VωM)VωH1)/ω((X∩H1)VωM)

H1/ωH1∩((X∩H1)VωM) =

= H1/ω(X∩H1)Vω(H1∩M) = H1/ωX∩H1.

Следовательно, (X∩H1)VωM – максимальная ω-насыщенная подформация в F.

Тогда, поскольку F

X, то всякая ω-насыщенная -разложимая подформация из F входит в (X∩H1)VωM.

Для доказательства утверждения 2) покажем прежде, что в F нет минимальных ω-насыщенных не

-разложимых подформаций, отличных от H1. Пусть M1=F∩X. Тогда M1 – -разложимая максимальная ω-насыщенная подформация формации F. Предположим обратное, т.е. что в F существует H2 – минимальная ω-насыщенная не -разложимая подформация, отличная от H1. Поскольку M1 является -разложимой формацией, то H2 M1. Значит, F=H2VωM1=H1VωM1.

Из леммы 9 следует, что Hi=lωformGi, где Gi – такая не

-разложимая монолитическая группа с монолитом Pi, что (Gi)∩ =Ø и либо = (Pi)∩ω=Ø и Pi совпадает с -разложимым корадикалом группы Gi, либо Ø и выполняется одно из следующих условий: (1) группа Pi неабелева, причем, если ', то Gi/Pi – '-группа, если ={pi} , то Gi/Pi – p-группа, если же ∩ω Ø и | |>1, то Gi=Pi – простая неабелева группа; (2) Gi – группа Шмидта; (3) Gi=[Pi]Hi, где Pi= (Pi) – минимальная нормальная подгруппа группы Gi; Hi – простая неабелева группа, причем ∩ (Hi)=Ø.

По лемме 7 формации Hi и M1 имеют такие внутренние ω-локальные спутники hi и m соответственно, что hi(a)=form(Gi/Fa(Gi) | Gi

Hi), если a ω∩ (Gi), hi(a)=Hi, если a=ω', hi(a)=Ø, если a ω\ (Gi), где i=1,2 и m(a)=form(A/Fa(A) | A M1), если a ω∩ (M1), m(a)=M1, если a=ω', m(a)=Ø, если a ω\ (M1).

Тогда по лемме 8 получаем, что формация F имеет такой ω-локальный спутник f, что f(p)=hi(p)V m(p) для всех p

ω и f(ω')=HiVM1=form(H1 M1) F.