О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1 (стр. 4 из 5)

Пусть G2 удовлетворяет условию (1), т.е. P2 – неабелева ωd-группа. Обозначим через R формацию, равную form(H1

M1). Поскольку, по лемме 15, NωR – ω-насыщенная формация и H1 M1 R NωR, то F=lωform(H1 M1) NωR. Но G2 F. Следовательно G2 NωR. Значит, R-корадикал группы G2 содержится в Nω.

Пусть G2R

1. Так как R-корадикал – нормальная в G2 подгруппа и P2 – единственная минимальная нормальная подгруппа в G2, верно включение P2 GR. Тогда получаем, что P2 – неабелева минимальная нормальная подгруппа в G2, содержится в нильпотентной подгруппе G2R группы G2. Противоречие.

Следовательно, G2R=1. Поэтому G2

R=form(H1 M1). Применяя теперь лемму 10, имеем G2 H1 M1. Тогда, так как G2 M1, то G2 H1. Поэтому H2=lωformG2 H1.

Поскольку H2 – минимальная ω-насыщенная не X-формация, то H1=H2. Противоречие.

Пусть группа G2 удовлетворяет условию (2), т.е. G2 является группой Шмидта и P2 – ωd-группа. Поскольку для любой группы A имеет место lωformA=lωform(A/Ф(A)∩Oω(A)), то группу Gi (i=1,2) можно считать группой Шмидта с тривиальной подгруппой Фраттини, т.е. Gi=[Pi] Hi, где группа Hi имеет простой порядок qi, Pi=

(Pi) – минимальная нормальная pi-подгруппа группы Gi.

Так как G2/P2

F∩X=M1, G2 M1, то P2=G2M1. Из того, что M1 Np2M1 и P2 Np2, следует G2 Np2M1.

По лемме 11 формация Np2M1 является ω-насыщенной формацией. Так как H2=lωformG2, то H2

Np2M1. Тогда F Np2M1, так как F – наименьшая ω-насыщенная формация, содержащая M1 и H2. Следовательно, G1 Np2M1. Поскольку, G1/P1 M1 и G1 M1, то P1=G1M1 Np2, т.е. P1 является p2-группой. Так как G2 F, то G2/Fp2(G2) f(p2)=h1(p2)Vm(p2). Но H2 G2/P2=G2/Fp2(G2). Поэтому H2 h1(p2)Vm(p2).

Ввиду пункта 18.20. [2], леммы 7 и замечания 1 [1] формация X всех

-разложимых групп имеет такой максимальный внутренний ω-локальный спутник x, что x(p)=Np, если p ∩ω и x(p)=G ’ если p ω\ .

Так как m(p2) – внутренний спутник формации M1

X, то H2 h1(p2)V m(p2) h1(p2)V x(p2). Заметим также, что h1(p2)=form(G1/Fp2(G1))=formH1. Кроме того p2 ∩ω. Таким образом, H2 formH1Vx(p2) = formH1VNp2 = form(formH1 Np2). Применяя лемму 16, получаем, что H2 formH1 Np2.

Заметим, что G1 удовлетворяет либо условию (2), либо условию (3). Следовательно H1 является простой группой. Поскольку H2 – q2-группа и q2

p2, то H2 H1.

Но тогда G2/Op2(G2)=G2/P2

H2 H1 G1/Fp2(G1) h1(p2) H1. Применяя лемму 12, получаем, что G2 H1. Следовательно, H1=H2. Противоречие.

Пусть теперь для группы G2 выполняется условие(3), т.е. G2=[P2]H2, где P2=CG(P2) – минимальная нормальная подгруппа группы G2, H2 – простая неабелева группа, причем

∩ (H2)=Ø.

Рассуждая аналогично случаю (2) получаем, что P1 является p2-группой и H2

h1(p2)VNp2 = formH1VNp2 = form(formH1 Np2). Но H2 – простая неабелева группа. Значит, в силу леммы 16 получаем H2 formH1 Np2 и H2 formH1. Следовательно, H1=H2. Противоречие.

Пусть теперь P2 – ω'-группа. Заметим, что если P2 – неабелева, то этот случай аналогичен (1). Значит, P2 – абелева p2-группа.

Рассмотрим формацию H=H1VωH2. Поскольку формация H1 содержится в формации H и

-разложимый lω-дефект формации H1 равен 1, то по лемме 13 получаем, что |H:H∩X |ω 1. С другой стороны, так как H F и -разложимый lω-дефект формации F равен 1, то по лемме 13, |H:H∩X |ω 1. Значит, -разложимый lω-дефект формации H равен 1. Поэтому в H существует -разложимая максимальная ω-насыщенная подформация L. Понятно, что L=H∩X. Тогда H=LVωH1=LVωH2. Поскольку P2 является абелевой p2-группой и единственной минимальной нормальной подгруппой в G2 такой, что G2/P2 L=H∩X, то G2L=P2. Это означает, что G2 Np2L. Следовательно, H2 Np2L. Кроме того, L Np2L. А так как по лемме 11 формация Np2L является ω-насыщенной формацией и H=LVωH2, то H Np2L. Поэтому H=LVωH1 Np2L и G1 Np2L. Таким образом, аналогично получаем, что P1 является p2-группой.

Рассмотрим решетку HVωX/ωX. Ввиду леммы 6 HVωX/ωX

H/ωX∩H=H/ωL.