О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1 (стр. 5 из 5)

Таким образом, X является максимальной ω-насыщенной подформацией в HVωX. Тогда H1VωX=HVωX=H2VωX. Значит G1

H2VωX. Следовательно, G1 lωform(H2 X)=lωform({G2} X) Nωform({G2} X).

Так как P1 – p2-группа и p2

ω', то G1 form({G2} X). По условию P2=GX. Поэтому P2 Ф(G2). Но G1 X. Значит, G1 form({G2} X)\X. Поскольку для любой группы A из {G2} X, подгруппа AX не содержит фраттиниевых A-главных факторов, то по лемме 14 получаем G1 H({G2} X). Так как G1 X и G2/P2 X, то G1 G2. Следовательно, H1=H2. Противоречие.

Таким образом, в формации F нет минимальных ω-насыщенных не

-разложимых подформаций, отличных от H1.

Пусть теперь F1 – произвольная не

-разложимая ω-насыщенная подформация из F. Тогда в силу уже доказанного и леммы получаем, что H1 F1. Следовательно, применяя лемму 4, получаем F1=F1∩F=F1∩(H1VωM)=H1Vω(F1∩M). Теорема доказана.

Приведем некоторые следствия доказанной теоремы.

Если ω={p}, а

– множество всех простых чисел, то из теоремы 1 вытекает

Следствие 1. В том и только том случае p-насыщенная ненильпотентная формация F имеет нильпотентную максимальную p-насыщенную подформацию, когда F= MVpH, где M – p-насыщенная нильпотентная формация, H – минимальная p-насыщенная ненильпотентная формация, при этом: 1) всякая p-насыщенная нильпотентная подформация из F входит в MVp( H∩N ); 2) всякая p-насыщенная ненильпотентная подформация F1 из F имеет вид HVp(F1∩N).

Если

– множество всех простых чисел, то из теоремы 1 вытекает

Следствие 2. В том и только том случае ω-насыщенная ненильпотентная формация F имеет нильпотентную максимальную ω-насыщенную подформацию, когда F= MVωH, где M – ω-насыщенная нильпотентная формация, H – минимальная ω-насыщенная ненильпотентная формация, при этом: 1) всякая ω-насыщенная нильпотентная подформация из F входит в MVω(H∩N); 2) всякая ω-насыщенная ненильпотентная подформация F1 из F имеет вид HVω(F1∩N).

Если ω и

равны множеству всех простых чисел, то из теоремы 1 получаем

Следствие 3 [4]. В точности тогда нильпотентный дефект локальной формации F равен 1, когда F=MVlH, где M – нильпотентная локальная формация, H – минимальная локальная ненильпотентная формация, при этом: 1) всякая нильпотентная подформация из F входит в MVl(H∩N); 2) всякая ненильпотентная локальная подформация F1 из F имеет вид HVl(F1∩N).

Если ω – множество всех простых чисел, из теоремы 1 вытекает

Следствие 4. В точности тогда

-разложимый дефект локальной формации F равен 1, когда F=MVlH, где M – -разложимая локальная формация, H – минимальная локальная не -разложимая формация, при этом: 1) всякая -разложимая подформация из F входит в MVl(H∩X); 2) всякая не -разложимая локальная подформация F1 из F имеет вид HVl(F1∩X).

5 Заключение

В данной работе получено описание не

-разложимых ω-насыщенных формаций с -разложимой максимальной ω-насыщенной подформацией. Результаты работы, являются новыми и связаны с исследованием структурного строения и классификацией частично насыщенных формаций конечных групп. В доказательствах используются методы абстрактной теории групп, общей теории решеток, а также методы теории формаций конечных групп. Результаты работы и методы исследования могут быть использованы при изучении внутреннего строения частично насыщенных формаций.

Литература

1 Скиба, А.Н. Кратно ω-локальные формации и классы Фиттинга конечных групп / А.Н. Скиба, Л.А. Шеметков // Матем. Труды. –1999. –Т.2, №2. – С. 114–147.

2 Шеметков, Л.А. Формации алгебраических систем / Л.А. Шеметков, А.Н. Скиба. – М.: Наука, 1989. – 256 с.

3 Скиба, А.Н. Алгебра формаций / А.Н. Скиба. – Мн.: Беларуская навука, 1997. –240 c.

4 Скиба, А.Н. Классификация локальных формаций конечных групп с нильпотентным дефектом

2 / А.Н.Скиба, Е.А. Таргонский // Математ. заметки. –1987. –Т.41, .№ 4. – С. 490–499.

5 Джехад, Дж. Классификация p-локальных формаций длины

3: автореф. … дис. канд. физ.-мат. наук: 02.12.01 / Дж. Джехад; Гом. гос. ун-т им.Ф.Скорины. – Гомель, 1996. – 15 с.

6 Жевнова, Н.Г. ω-Локальные формации с дополняемыми подформациями: автореф. … дис. канд. физ.-мат. наук: 02.12.01 / Н.Г. Жевнова; Гом. гос. ун-т им. Ф.Скорины. – Гомель, 1997. – 17 с.

7 Сафонов, В.Г. О приводимых ω-насыщенных формациях с разрешимым дефектом

2 / В.Г. Сафонов, И.Н. Сафонова // Изв. Гом. гос. ун-та им. Ф.Скорины. – 2005. – №5(32). – С. 162–165.

8 Сафонов, В.Г. Частично насыщенные формации с

-нильпотентным дефектом 1 / В.Г. Сафонов, А.И. Рябченко // Вестн. Мозырьского гос. пед. ун-та. – 2005. – № 2(13). – С. 16–20.

9 Сафонова, И.Н. О существовании Hω-критических формаций / И.Н. Сафонова // Изв. Гом. гос. ун-та им. Ф.Скорины. – 1999. – №1. – С. 118–126.

10 Сафонова, И.Н. К теории критических ω-насыщенных формаций конечных групп / И.Н. Сафонова // Вестн. Полоцк. гос. ун-та. Сер. С. –2004. – №11. – С. 9–14.