О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1 (стр. 1 из 5)
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Допущена к защите
Зав. кафедройШеметков Л.А.
« » 2007 г.
О ω-насыщенных формациях с 
-разложимым дефектом 1
Курсовая работа
Исполнитель:
Студент группы М-51А.И. Рябченко
Научный руководитель:
к.ф.- м.н., старший преподаватель В.Г. Сафонов
Гомель 2007
Оглавление
1. Введение
2. Основные понятия и обозначения
3. Используемые результаты
4. Основной результат
5 Заключение
Литература
Работа посвящена изучению решеточного строения частично насыщенных формаций конечных групп. Основным рабочим инструментом исследования является понятие H-дефекта ω-насыщенной формации. При этом, под H-дефектом ω-насыщенной формации F понимают длину решетки ω-насыщенных формаций, заключенных между формацией F
H и F.В случае, когда H – формация всех -разложимых групп, H-дефект ω-насыщенной формации F называют ее -разложимым lω-дефектом. Доказано, что -разложимый lω-дефект частично насыщенной формации F равен 1 в том и только в том случае, когда F представима в виде решеточного объединения минимальной ω-насыщенной не -разложимой подформации и некоторой ω-насыщенной -разложимой подформации формации F. Приведен ряд следствий.
Полученные результаты являются естественным развитием исследований, связанных с изучением решеточного строения частично насыщенных формаций, имеющих заданный нильпотентный или разрешимый lω-дефекты. Работа может быть полезна при изучении и классификации ω-насыщенных формаций с заданной структурой ω-насыщенных подформаций.
Рассматриваются только конечные группы. Используется терминология из [1–3].
В работе [4] было введено понятие H-дефекта насыщенной формации и получена классификация насыщенных формаций с нильпотентным дефектом
2. При этом под H-дефектом насыщенной формации F понимают длину решетки насыщенных формаций, заключенных между F H и F.В дальнейшем этот результат получил развитие в разных направлениях, поскольку нашел широкое применение в теоретических исследованиях. Содной стороны, в качестве H стали рассматривать другие достаточно хорошо известные классы (А.Н.Скиба, 1991г., В.В.Аниськов, 1995-2003гг.). С другой стороны, исследовались решетки насыщенных формаций большей длины (В.Г.Сафонов 1996-2004г.). Кроме того, этот подход нашел широкое применение при изучении структурного строения формаций групп других типов (n-кратно насыщенные формации, тотально насыщенные формации и др.).
В теории ω-насыщенных формаций данный метод был использован Дж. Джехадом [5] и Н.Г.Жевновой [6] при изучении p-насыщенных и ω-насыщенных формаций с нильпотентным lω-дефектом 1. Классификация неразрешимых ω-насыщенных формаций, имеющих разрешимую максимальную ω-насыщенную подформацию, получена в [7].
Естественным развитием исследований в этом направлении является изучение решеточного строения частично насыщенных формаций, близких к N по тем или иным свойствам. Так в совместной работе авторов было дано описание не -нильпотентной ω-насыщенной формации с -нильпотентноймаксимальной ω-насыщенной подформацией [8].
В данной работе получена классификация частично насыщенных формаций -разложимого lω-дефекта 1.
Основным результатом является
Теорема 1.Пусть F – некоторая ω-насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае -разложимый lω-дефект формации F равен 1, когда F=MVωH, где M – ω-насыщенная -разложимая подформация формации F, H – минимальная ω-насыщенная не -разложимая подформация формации F, при этом: 1) всякая ω-насыщенная -разложимая подформация из F входит в MVω(H
X); 2) всякая ω-насыщенная не -разложимая подформация F1из F имеет видHVω(F1 X).2. Основные понятия и обозначения
Пусть ω – некоторое непустое множество простых чисел. Тогда через ω 'обозначают дополнение к ω во множестве всех простых чисел.
Всякую функцию вида f: ω 
{ω'}
{формации групп} называют ω-локальным спутником. Если f –произвольный ω-локальный спутник, то LFω(f)={ G | G/Gωd 
f(ω') и G/Fp(G) f(p) для всех p ω (G)}, где Gωd –наибольшая нормальная подгруппа группы G, у которой для любого ее композиционного фактора H/K имеет место (H/K) ω 
Ø, Fp(G) – наибольшая нормальная p-нильпотентная подгруппа группы G, равная пересечению централизаторов всех pd-главных факторов группы G .Если формация F такова, что F=LFω(f) для некоторого ω-локального спутника f, то говорят, что F является ω-локальной формацией, а f ее ω-локальный спутник.Если при этом все значения f лежат в F, то f называют внутренним ω-локальным спутником.
Пусть X – произвольная совокупность групп и p – простое число. Тогда полагают, что X(Fp)=form(G/Fp(G) | GÎX), если p
(X), X(Fp)=Ø, если p 
(X).Формация F называется ω-насыщенной, если ей принадлежит всякая группа G, удовлетворяющая условию G /L
F, где L 
Ф(G)∩Oω(G).Ввиду теоремы 1 [1, c. 118] формация является ω-локальной тогда и только тогда, когда она является ω-насыщенной.
Через lω обозначают совокупность всех ω-насыщенных формаций.
Полагают lωformFравным пересечению всех тех ω-насыщенных формаций,которые содержат совокупность групп F.
Для любых двух ω-насыщенных формаций M и H полагают M
H=M∩H, а MVωH=lωform(M H). Всякое множество ω-насыщенных формаций, замкнутое относительно операций и Vω, является решеткой. Таковым, например, является множество lω всех ω-насыщенных формаций.Через F/ωF∩H обозначают решетку ω-насыщенных формаций, заключенных между F∩H и F. Длину решетки F/ωF∩H обозначают|F:F∩H |ω и называют Hω-дефектом ω-насыщенной формации F.
ω-Насыщенная формация F называется минимальной ω-насыщенной не H-формацией, если F
H, но все собственные ω-насыщенные подформации из Fсодержатся в H.