Смекни!
smekni.com

Решение дифференциальных уравнений (стр. 1 из 2)

1)Дифференциальное уравнение. Общее решение. Частное решение. Задача Коши

Диф.ур-м наз-ся ур-е, связывающее независим.перем. х сикомую ф-ию у, и ее производные.

.

. => ОДУ

.

Общим решением ОДУ первого порядка назся ф-ия

, удовл.след.условиям:

1)

явл.решением ур-я
при

2)

∃ такое значение произв.пост.
, при котором
удовл.данному нач.условию.
-общий интеграл

Частн.решением обыкн.диф.ур-я первого порядка наз-ся ф-ия

кот.получ.из общего решения
) при конкретном значении с.

Задача Коши- задача нахождения обыкнов. диф.ур-я удовлет. начальному условию

2)Уравнение с разделяющимися переменными.

Наз-ся обыкновенное уравнеие1 порядка, кот.прив.к виду:

К ним относ. диф.ур.вида:

1)

2)
умножим на
=>

.- ур-е с раздел.перем.

3)Однородные уравнения. Уравнения, приводящиеся к однородным

Ф-ия

наз-ся однород.ф-ей
порядка или n-ой измерениями относительно переем
если при
.

. аргументом явл.дробь.

4)Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

.Ур-е наз-ся ур-ем в полных диф.если сущ-ет такоя ф-ия

.

5)Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

ДУ 1 порядка наз-ся линейным, если его можно записать в виде

– заданные ф-ии, в частности – постоянные.

а)Метод Бернулли

Решение ур-я

ищется в виде произведения двух других ф-ий, т.е. сРер помощью подстановки
– неизвестные ф-ии х, причем одна из них произвольна (но ≠0) – днйствительно любую ф-ию у(х) можно записать как:

,
).Тогда
Подставляя выражение у и у’ в
получаем:
Подберем ф-ю
так что бы

. Итак,
, интегрируя получаем:

Ввиду свободы выбора ф-ии
можно принять с=1=> v=

Подставляя найденную ф-ию в ур-е

получаем:
.

Получено уравнение с раздел.перем.Решаем его:

.

Возвращаясь к переменной у, получеам решение исходного ДУ

.сходного ДУ переменной у, получаем решение го поля. Нахождение потенциала по заданному примеру.

б)Метод Лагранжа

Рассмотрим однородное уравнение

. Очевидно, это уравнение с разделяющимися переменными, его решение:

Решения исходного уравнения будем искать в виде:

Подставив полученное решение в исходное уравнение:

, получаем: c
где c1 — произвольная константа.

Таким образом, решение исходного уравнения можно получить путем подстановки c(x) в решение однородного уравнения:

.

6)Уравнение Бернулли

Ур-е вида

Если n=0, то ДУ – линейное, а при n=1 – с раздел.переменными.

Данное ур-е решается двумя способами:

Первый способ

Заменой

, уравнение приводится к линейному
и может быть решено методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.

Второй способ

Заменим

.

Тогда

.

Подберем

так, чтобы было

.

для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка.

После этого для определения

получаем уравнение

- уравнение с разделяющимися переменными.

7)Уравнение неразрешенное относительно

Метод введения параметра

– относительно производной

a)

б)

в)

.

где 𝜑и 𝜓известные ф-ии от
наз-ся ур-ем Лагранжа.

Введем вспомогат.параметр, положив у’=p. Тогда ур-е

примет вид: у=𝜑(p)+𝜓(p). Дифференц.по х, получим:

, т.е.
или
- линейное ур-е относит.неизвестной
, решив его найдем:
. Исключая параметр р из
и
получаем общий интеграл ур-я
в виде
. При делении на
могли быть потеря решения, для которых
,т.е.
. Это значение
явл.корнем ур-я
. Решение
явл.особым для ур-я