Решение дифференциальных уравнений (стр. 1 из 2)
1)Дифференциальное уравнение. Общее решение. Частное решение. Задача Коши
Диф.ур-м наз-ся ур-е, связывающее независим.перем. х сикомую ф-ию у, и ее производные.
. 
. => ОДУ 
.Общим решением ОДУ первого порядка назся ф-ия
, удовл.след.условиям:1)
явл.решением ур-я 
при 
2)
∃ такое значение произв.пост. 
, при котором 
удовл.данному нач.условию. 
-общий интегралЧастн.решением обыкн.диф.ур-я первого порядка наз-ся ф-ия
кот.получ.из общего решения 
) при конкретном значении с.Задача Коши- задача нахождения обыкнов. диф.ур-я удовлет. начальному условию
2)Уравнение с разделяющимися переменными.
Наз-ся обыкновенное уравнеие1 порядка, кот.прив.к виду:
К ним относ. диф.ур.вида:
1)
2) 
умножим на 
=> 
.- ур-е с раздел.перем.3)Однородные уравнения. Уравнения, приводящиеся к однородным
Ф-ия
наз-ся однород.ф-ей 
порядка или n-ой измерениями относительно переем 
если при 
. 
. аргументом явл.дробь.4)Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
.Ур-е наз-ся ур-ем в полных диф.если сущ-ет такоя ф-ия 
.5)Линейное дифференциальное уравнение первого порядка
ДУ 1 порядка наз-ся линейным, если его можно записать в виде
– заданные ф-ии, в частности – постоянные.а)Метод Бернулли
Решение ур-я
ищется в виде произведения двух других ф-ий, т.е. сРер помощью подстановки 
– неизвестные ф-ии х, причем одна из них произвольна (но ≠0) – днйствительно любую ф-ию у(х) можно записать как: 
, 
).Тогда 
Подставляя выражение у и у’ в 
получаем: 
Подберем ф-ю 
так что бы 
. Итак, 
, интегрируя получаем: 
Ввиду свободы выбора ф-ии 
можно принять с=1=> v= 
Подставляя найденную ф-ию в ур-е
получаем: 
.Получено уравнение с раздел.перем.Решаем его:
.Возвращаясь к переменной у, получеам решение исходного ДУ
.сходного ДУ переменной у, получаем решение го поля. Нахождение потенциала по заданному примеру.б)Метод Лагранжа
Рассмотрим однородное уравнение
. Очевидно, это уравнение с разделяющимися переменными, его решение: 
Решения исходного уравнения будем искать в виде:
Подставив полученное решение в исходное уравнение:
, получаем: c 
где c1 — произвольная константа.Таким образом, решение исходного уравнения можно получить путем подстановки c(x) в решение однородного уравнения:
.6)Уравнение Бернулли
Ур-е вида
Если n=0, то ДУ – линейное, а при n=1 – с раздел.переменными.
Данное ур-е решается двумя способами:
Первый способ
Заменой
, уравнение приводится к линейному 
и может быть решено методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.Второй способ
Заменим
.Тогда
.Подберем
так, чтобы было 
.для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка.
После этого для определения
получаем уравнение 
- уравнение с разделяющимися переменными.7)Уравнение неразрешенное относительно
Метод введения параметра 
– относительно производной 
a)
б)
в)
. 
где 𝜑и 𝜓известные ф-ии от 
наз-ся ур-ем Лагранжа.Введем вспомогат.параметр, положив у’=p. Тогда ур-е
примет вид: у=𝜑(p)+𝜓(p). Дифференц.по х, получим: 
, т.е. 
или 
- линейное ур-е относит.неизвестной 
, решив его найдем: 
. Исключая параметр р из 
и получаем общий интеграл ур-я в виде 
. При делении на 
могли быть потеря решения, для которых 
,т.е. 
. Это значение 
явл.корнем ур-я 
. Решение 
явл.особым для ур-я 