Аналогія: теорема Піфагора на площині і в просторі (стр. 2 из 6)

S_ΔABC =

( 1 )

Аналогічно: S_ΔACD=

( 2 )

S_ΔBCD=

( 3 )

За побудовою S_ΔABC= S_ΔACD+ S_ΔBCD. ( 4 )

З рівностей ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ), ( 4 ) випливає:

тобто

Рис.3 Рис.4

Доведення 4. Впишемо в трикутник АВС коло ( О, r ) ( Рис.4 ). Тоді:

S_ΔABC= S_ΔOAC + S_ΔOAB =

Чотирикутник OKCL – квадрат з стороною r. За властивістю дотичних, проведених з точок А та В до кола, маємо: AH = AK =

, BH = BL = .

Тоді

AB = AH + HB =

З іншого боку

S_ΔABC =

.

Таким чином,

Доведення 5

Виконуємо побудови, які показано на рисунку 5 а), 5 б).

Рис.5,а

Рис.5,б

CDMN, TQRE – квадрати зі стороною

. Тоді S_CDMN = S_TQRE.

За побудовою маємо:

S_CDMN= S_ABLK + 4S_ΔABC,

S_TQRE = S_PQBC+ S_ACFE + 4S_ΔABC.

Порівнюючи ці рівності, дістанемо:

S_ABLK+ 4S_ΔABC= S_PQBC+ S_ACFE + 4S_ΔABC, або

S_ABLK = S_PQBC+ S_ACFE, тобто

Доведення 6

Побудуємо квадрат CDMN з стороною a+b( Рис.6)

Рис. 6

Тоді ΔАСВ = ΔBDK = ΔKLM = ΔLNA ( за двома катетами ) , звідки

AB = BK = KL = LA = c.

Отже, чотирикутник ABKL – ромб.

Оскільки

АВК = 90°, то ABKL – квадрат. Маємо:

Порівнюючи останні рівності, дістанемо:

Доведення 7

На сторонах прямокутного трикутника АВС побудуємо квадрати АВКМ, АDЕС, ВСFR. (Pис. 7). Трикутники ЕСF, КLМ і АСВ рівні між собою. АDRВ = EDRF як симетричні відносно прямої DR фігури; ACLM = КLСВ як центрально-симетричні фігури відносно центра квадрата АВКМ; АDRB=АСLМ як відповідні фігури при повороті навколо центра А на кут 90°.

Враховуючи одержані три рівності, маємо:

ADEFRB = ACBKLM, але

S_ADEFRB= S_ADEC+ 2S_ΔABC + S_BCFR, S_ACBKLM = S_ABKM + 2S_ΔABC.

Отже, S_ADEC+ S_BCFR = S_ABKM, тобто

Рис.7

Рис.8

Доведення 8

Прямокутний трикутник АСВ з прямим кутом С повернемо навколо точки С на 90° так, щоб він зайняв положення А´СВ´ ( Рис. 8 ).Продовжимо гіпотенузу А´В´ до перетину з АВ у точці D. Відрізок В´D буде висотою трикутника В´АВ.

Розглянемо тепер чотирикутник А´АВ´В. Його можна розкласти на два рівнобедрені трикутники СА´А і СВ´В. Маємо:

Ы_ΔСФ´Ф =

б Ы_ΔСИ´И= ю

Таким чином

Ы_Ф´ФИ´И= Ы_ΔСФ´Ф + Ы_ΔСИ´И=

ю

Трикутники АА´В´ і ВА´В´ мають спільну основу В´А´ і висоти AD і BD відповідно. Тому

Ы_Ф´ФИ´И= Ы_ΔАФ´В´ + Ы_ΔВА´И=

ю

Порівнявши два вирази для площі чотирикутника А´АВ´В, одержимо:

, тобто

1.2Теорема Піфагора та цілочислові прямокутні трикутники

Співвідношення між сторонами прямокутного трикутника, яке подається в підручниках математики та інших джерелах під назвою теореми Піфагора, було відоме з давніх часів. Так, клинописі пам'ятки Вавілона свідчать про те, що за 2-2,5 тисячі років до нашої ери там уже користувалися названим співвідношенням для обчислень. Було відоме воно і стародавнім єгиптянам (за 2300 років до н.е.) ,про що свідчить папірус Берлінського музею. Чому ж ця закономірність названа ім'ям Піфагора, який жив у VIcт. до н.е., тобто значно пізніше?

Піфагор, про життя якого є лише відомості, переписані легендами, народився на о. Самос. У молоді роки він багато подорожував і цілком імовірно, що, відвідавши країни Стародавнього Сходу, познайомився з відомою вже там закономірністю про співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Повернувшись на батьківщину (в Грецію) та оселившись у м. Кротоні, Піфагор заснував філософську школу і серйозно зайнявся систематизацією та узагальненням математичних знань. Піфагор систематизував здобуті фрагментарні відомості про прямокутний трикутник, дав їм логічне обґрунтування, зробивши їх надбанням своїх співвітчизників.

Першопрохідці помітили, що рівність a²+b²=c² (1) справджується при натуральних значеннях довжин катетів а і b та гіпотенузи с, бо інших чисел вони не знали.

З’ясуємо насамперед, чи є такі три послідовності натуральних чисел, що задовольняють рівність (1). Якщо є, то скільки таких трійок чисел?

Нехай a=n -1; b=n ; c=n+1. Тоді (n -1)²+n²=(n+1)² , звідки n²-4n=0; n₁=0; n₂=4. Умову задачі задовольняє n=4.

Отже, маємо трійку чисел 3,4,5, для яких 3²+4²=5 ².Оскільки інших розв’язків рівняння не має, то існує лише одна така трійка чисел.

Прямокутний трикутник зі сторонами 3, 4 і 5 був відомий стародавнім єгиптянам. Ним вони користувалися, будуючи прямі кути під час землевимірювальних робіт. Поділивши вірьовку на 12 рівних частин, закріплювали її кілками в поділках, які від одного кінця відділяли 3 відрізки, а від другого – 5. Натягуючи вільні кінці вірьовки та суміщаючи їх, діставали прямокутний трикутник з прямим кутом між відрізками 3 і 4 одиниці. Людей, які займалися цією справою, називали гарпедонаптами (натягувачі вірьовок), а прямокутний трикутник зі сторонами 3, 4, і 5 дістав назву єгипетського.

Назвемо прямокутні трикутники довжини сторін яких виражаються цілими числами, цілочисловими. Зрозуміло, що трикутники зі сторонами 3k, 4ki 5k прямокутні цілочислові, бо (3k)²+(4k)²=(5k)^{2 ↔} 3²+4²=5 ². Таких трикутників безліч.

Чи існують цілочислові прямокутні трикутники, крім єгипетського, довжини сторін яких – три числа, що мають найбільшим спільним дільником число 1? Шукатимемо такі трикутники, тобто такі трійки натуральних чисел, які задовольнятимуть зазначену вище умову. Виходячи з умови, вони не можуть бути всі парними, але не можуть бути й не парними,бо , якщо a і b непарні, то с парне. (Зазначимо тут, що коли, наприклад, a парне, то a² кратне 4, бо якщо a=2п ,то a²=4п^2.Якщо a непарне, тобто a=2п+1, то a²=4п²+4п+1=4п₁+1 – непарне).

Взагалі, якщо будь-які два числа з трійки натуральних чисел a, b і c ,що задовольняють a²+b²=c² (такі числа називають піфагоровими), мають спільний дільник відмінний від 1, то він буде також дільником і третього числа. Отже, будь-яка пара чисел з шуканих трійок є взаємно-простими числами. Нехай aнепарне і bпарне, тоді c також непарне.

Маємо :

a²+b²=c² ↔b²=c²- a²↔ b²=(c-a)(c+a).(2)

Числа (c-a) і (c+a) парні, тому тому

і цілі ; b² кратне 4, тому ціле .З рівності ( 2 ) дістанемо:

= * (3).