Аналогія: теорема Піфагора на площині і в просторі (стр. 6 из 6)
Оскільки
,то одержимо:
Тоді
Таким чином,
,звідки
Враховуючи, що
,остаточно одержимо
Доведення 9.У вибраній системі координат
координати вершин тетраедра ОАВС ( Рис.2.8 ) набудуть вигляду: 
.Об’єм тетраедра можна обчислити за формулою:
,де
( 
) – координати вершин тетраедра.Застосуємо цю формулу
. (1)З іншого боку
(2),де ОН – висота тетраедра (Рис. 2.6).
Висоту ОН знайдемо як відстань від точки О до площини трикутника АВС. Для цього складемо рівняння площини (АВС) "у відрізках на осях":
або
Тоді
. (3)З (1), (2), (3) слідує
,звідки
або
. 
Доведення 10. Використаємо (рис.2.8) і позначення на ньому. Висоту ОО1 обчислимо як відстань між точками О і О1, для цього складемо рівняння прямої ОО1. Рівняння площини (АВС) має вигляд
(див. розв’язання 9),
де
— вектор нормалі.Оскільки
, то 
(як два перпендикуляри до площини).Таким чином, вектор
— напрямний вектор прямої ОО1. Канонічні рівняння прямої ОО1 набудуть вигляду: 
,звідси одержимо параметричні рівняння ОО1:
Обчислимо координати точки О1, розв'язавши систему рівнянь:
Тоді
(1)Обчислимо об’єм тетраедра ОАВС за формулою
, тоді 
. (2)Враховуючи, що
,одержимо:
,звідки
або
.Доведення 11. Теорему Піфагора для прямокутного тетраедра можна розглядати як наслідок теореми косинусів для довільного тетраедра [3], яка формулюється так: квадрат площі будь-якої грані тетраедра дорівнює сумі квадратів площ інших граней без подвоєних добутків площ цих граней, взятих попарно, на косинус двогранних кутів між ними, тобто
. (1)У прямокутному тетраедрі двогранні кути
прямі і з теореми косинусів (1) одержимо співвідношення 
площі граней - катетів, а
- площа грані - гіпотенузи.Таким чином, стереометричний аналог теореми Піфагора можна сформулювати так: У прямокутному тетраедрі квадрат площі грані гіпотенузи дорівнює сумі квадратів площ граней - катетів.
Зауваження. Має місце наслідок з цієї теореми: площі граней - катетів є середніми геометричними між площею грані — гіпотенузи і площами їх проекцій на грань - гіпотенузу (див. доведення 5).
Висновок
Мабуть, найпопулярнішою з усіх теорем є теорема Піфагора. Причинами такої популярності є простота, краса, значення. Справді, теорема Піфагора проста, але не очевидна. Це поєднання двох суперечностей і надає їй особливої привабливості.Теорема Піфагора - важливий інструмент геометричних обчислень. Використовуючи її, можна обчислити у планіметрії діагональ квадрата і прямокутника, висоту, медіану, бісектрису рівностороннього або рівнобедреного трикутника, висоту рівностороннього трикутника, радіуси вписаного і описаного кіл правильного трикутника, рівнобедреного трикутника тощо.
Теорема Піфагора використовується при розв’язанні трикутників, у теорії площ.
У стереометрії теорема Піфагора застосовується при обчисленні висоти, ребра або апофеми правильної піраміди, при вивченні многогранників, тіл обертання та їх комбінацій.
Взагалі, перелічити з достатньою повнотою всі випадки, де використовується теорема Піфагора в геометрії неможливо. Вона має не лише теоретичний характер, а й широко використовується на практиці при розрахунках покрівель дахів, верхніх частин вікон у будинках готичного і романського стилю, паркетуванні підлоги тощо.
З теореми Піфагора випливає чимало наслідків, які є її вінцем, зокрема:
- у прямокутному трикутнику будь – який катет менший від гіпотенузи;
- косинус кута а менше одиниці для будь – якого гострого кута а;
- якщо до прямої з однієї точки провести перпендикуляр і похилі ,то похилі більші перпендикуляра; рівні похилі мають рівні проекції; з двох похилих більша та, у якої проекція більша.
Сама теорема Піфагора є наслідком теореми : косинус кута залежить лише від градусної міри кута. Тому, якщо теорему Піфагора «вплести» у вінок її наслідків, то отримаємо вінок наслідків теореми про косинус кута.
Із означень sinα, cosα, tgαвипливають такі властивості:
- катет, протилежний куту α , дорівнює добутку гіпотенузи на sinα;
- катет, прилеглий до кута α , дорівнює добутку гіпотенузи на cosα;
- катет, протилежний куту α , дорівнює добутку другого катета наtgα;
- катет прямокутного трикутника є середнє пропорційне між гіпотенузою і його проекцією на гіпотенузу;
- висота прямокутного трикутника, опущена з вершини прямого кута, є середнє пропорційне між проекціями катетів на гіпотенузу.
Вся геометрія складеться з таких прекрасних віночків, слід лише придивитись до них, звертати на них увагу, порівнювати, запам’ятовувати і вміло використовувати їх при розв’язанні задач.
Література
1. Боровик В.Н., Зайченко І.В., Кобко Л.М. «Гармонія і естетика трикутника». Навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів – 2-е вид., виправл. і доп.. Рекомендовано МОН України – К.: Освіта України, 2007. – 180с.
2. Кобко Л.М. «Аналогія: планіметрія–стереометрія в таблицях». Навчальний посібник для студентів педагогічних вищих навчальних закладів. – Чернігів, 2008.- 64с.
3. Кобко Л.М. «У світі геометрії». Навчально–методичний посібник для студентів педагогічних вищих навчальних закладів. – Чернігів, 2009.- 209с.