Геометричні місця точок на площині та їх застосування (стр. 2 из 4)
Таким чином, рівняння
є рівнянням шуканого геометричного місця точок. Цим рівнянням визначається коло радіуса 
з центром у точці 
(мал. 135).Задача 2. Знайти геометричне місце точок, рівновіддалених від даної точки F і даної прямої d, яка не проходить через цю точку.
Розв’язання. Нехай відстань від даної точки F до даної прямої d дорівнює р. Візьмемо систему координат так, щоб вісь Ох проходила через точку F і була перпендикулярною до прямої d (мал. 136), а вісь Оу поділяла навпіл відрізок осі Ох між прямою d і точкою F.
Нехай М (х; у) – довільна точка шуканого геометричного місця точок. Опустимо з точки М на пряму d перпендикуляр МК. Координати точки К:
; координати точки F: 
За умовою МК=MF. Запишемо цю рівність у координатах:
Піднесемо до квадрата обидві частини цієї рівності і спростимо: 
або
звідси
(1)Ми показали, що координати х; у довільної точки М шуканого геометричного місця точок задовольняють рівняння (1). Справедливе й обернене твердження: точка, координати х, у якої задовольняють рівняння (1), належить шуканому геометричному місцю точок. Справедливі, рівність
Звідси, беручи до уваги, що х > 0 і
; маємо 
З останньої рівності випливає, що точка М (х; у) рівновіддалена від прямої d і від точки F, тобто М належить шуканому геометричному місцю точок.
Знайдене рівняння у2=2 рх визначає лінію, яка називається параболою (мал. 137). Точка F називається фокусом параболи, а пряма d – директрисою.
Параболу можна побудувати так. Проведемо директрису параболи d і позначимо фокус F(мал. 138). Середина О відрізка DF належить параболі і є її вершиною. Через довільну точку К променя OF проведемо пряму, перпендикулярну до осі параболи. Знайдемо дві точки М і М1 перетину цієї прямої з колом, центром якого є фокус F, а радіус дорівнює відстані від цієї прямої до директорії d. Точки М і М1 належать параболі. Якщо проведемо кілька прямих, перпендикулярних до осі параболи, і побудуємо точки перетину їх з колами, центрами яких є фокус F, а радіуси дорівнюють відстаням від директриси до відповідної прямої, то дістанемо пари точок параболи. Знайдемо точки сполучимо плавною лінією за допомогою лекала.
Задача 3. Знайти геометричне місце точок, сума відстаней яких до двох даних точок є величина стала.
Розв’язання. Нехай відстань між даними точками F1iF2 дорівнює 2 с. Візьмемо за початок координат середину О відрізка F1F2 (мал. 139), а промінь OF2 – за додатну піввісь Ох. Тоді точка F1 матиме координати – с; 0, а точка F2 – координати с; 0.
Нехай М (х; у) – довільна точка шуканого геометричного місця точок. За умовою сума F1M+F2M стала. Позначимо її через 2а. Запишемо цю рівність у координатах. За формулою відстані між двома точками дістанемо:
або
Піднесемо до квадрата обидві частини цієї рівності і спростимо:
Тепер знову піднесемо обидві частини рівності до квадрата. Дістанемо:
або після спрощення:
Оскільки F1M+F2M>F1F2, тобто 2а>2с, то а2 – с2>0. Позначимо а2-с2=b2. Тоді останню рівність запишемо так: b2x2+a2y2=a2b2. Поділивши обидві частини рівності на a2b2, дістанемо:
(1)Ми показали, що координати х; у довільної точки М шуканого геометричного місця точок задовольняють рівняння (1). Справедливе і обернене твердження: якщо координати довільної точки М задовольняють рівняння (1), то вона належить шуканому геометричному місцю точок. Таким чином, рівняння (1) є рівнянням шуканого геометричного місця точок.
Рівнянням
визначається опукла замкнена лінія, яка називається еліпсом. Точки F1 і F2 називаються фокусами еліпса. Форму еліпса має лінія похилого розрізу циліндричних і конічних тіл: дерева, ковбаса, морквини тощо.Еліпс можна побудувати так. Візьмемо нитку певної довжини (наприклад, 20 см) і закріпимо її кінці в точка F1 та F2 (мал. 140). (Довжина нитки має бути більшою за довжину відрізка F1F2). Натягуємо нитку вістрям олівця і переміщаємо на площині. Вістря олівця опише еліпс. Для кожної точки еліпса сума її відстаней від двох нерухомих точок F1 і F2 є стала величина (у нашому прикладі ця сума дорівнює довжині нитки). Якщо довжину нитки залишити ту саму, а відстань між фокусами змінити і знову побудувати еліпс, то його форм а зміниться (еліпс витягнеться або округлиться).
Розглянутий спосіб побудови еліпса використовує садівник, щоб надати клумбі еліптичну форму, маляр, який будує еліптичний контур для розпису стелі, стоялр, виготовляючи дерев’яні деталі еліптичної форми.
І. Геометричне місце точок, які перебувають на рівних віддалях від трьох даних точок А, В, С, що не лежать на одній прямій, є точка – центр кола, яке проходить через ці точки.
ІІ. Геометричне місце крайніх точок рівних відрізків, дотичних до даного кола, є коло, концентричне з даним.
ІІІ. Геометричне місце точок, які мають ту властивість, що кут між кожною парою дотичних, роведених з них до даного кола, має дану величину, є коло, концетричне з даним.
IV. Геометричне місце середин рівних хорд, проведених у даному колі К, є коло, концентричне з даним і дотичне до кожної з цих хорд.
V. Геометричне місце точок, що ділять в даному відношенні відрізки
C1D1, C2D2, C3D3 і т.д. паралельних прямих, які перетинають сторони даного кута АОВ (рис. 203), є пряма, що сполучає вершину О кута з точкою, наприклад Е3, яка ділить один з даних відрізків C3D3 в даному відношенні.
Зауваження. Якщо відношення, в якому поділені відрізки, дорівнює одиниці, то геометричним місцем точок є продовжена медіана трикутника, який одержуємо від перетину даного кута однією із згаданих паралельних прямих, проведених з вершини О.
VI. Геометричне місце точок, що їх віддалі від двох прямих АВ і CD відносяться, як m: n, є сукупність двох прямих LK і MN (рис. 204), що проходять через точку Е перетину прямих АВ і CD і через точки К і L, M і N перетину прямих, паралельних АВ і віддалених від неї на ь, з прямими, паралельними CD і віддаленими від неї на n.
VII. Геометричне місце точок, з яких відрізок АВ видно під даним кутом α, є дуга кола
, стягувана хордою АВ, з центром О або О1 (рис. 205).Дуги АМВ і ANB, а також ентри О і О1 симетричні відносно відрізка АВ.
Щоб побудувати центри О і О1, в цінцях відрізка АВ, з обох боків від нього, проводимо прямі під кутом α до прямої АВ і будуємо з точок А і В перпендикуляри до проведених прямих. На перетині цих перпендикулярів з перпендикуляром до відрізка АВ через його середину і лежать центри О і О1.
Зауваження. Точки А і В треба виключити, бо вони не мають властивості, яку мають всі інші точки
.VIII. Геометричне місце точок, що їх віддалі від двох даних точок А і В відносяться, як m: n, є коло, побудоване на відрізку CD, як на діаметрі, притому точки C і D на прямій АВ ділять відрізок АВ відповідно у внутрішньому і зовнішньому відношенні, рівному m: n. Інакше кажучи, точки А, С, В і D – гармонічно спряжені точки.
Доведемо теорему відносно поданого геометричного місця, або так званого кола Аполлонія.
Теорема 242. Довільна точка М така, що відношення її віддалей від двох даних точок А і В дорівн.є m: n, лежить на колі з діаметром CD, причому точки С і D ділять відрізок АВ відповідно зсередина і зовні у відношенні m: n.
Дані точки А і В і така точка М (поза прямою АВ), що МА: МВ =m: n (рис. 206).
Будуємо на прямій АВ такі дві точки С і D, що:
СА: СВ = DA: DB = m: n.