Геометричні місця точок на площині та їх застосування (стр. 4 из 4)

Дані точки А і В, відрізок а і пряма МС, перпендикулярна до прямої АВ і така, що перетинає її в точці С всередині відрізка АВ (рис. 211) або поза відрізком АВ (рис. 212), причому СА² – СВ² = а².

Доведемо, що будь-яка точка М, яка лежить на перпендикулярні МС, задовольняє умову МА² – МВ² = а². З прямокутних трикутників МАС і МВС (рис. 211 і 212) маємо:

СА² = МА² – МС² і СВ² = МВ² – МС².

тобто:

МА² – МВ² = СА² – СВ², або МА² – МВ² = а².

що й треба було довести

4. Застосування ГМТ до розв’язання задач на побудову

геометричний площина точка місце

Розв’язування задач на побудову методом геометричних місць. Задачі на побудову, що розв’язуються методом геометричних місць, можуть бути досить різноманітними. Вони часто відрізняються одна від одної як кількістю, так і особливостями тих геометричних місць, за допомогою яких визначається положення шуканої точки. Розв’язування задачі спрощукється або ускладнюється в залежності від того, в якій мірі в тексті задачі містяться прямі вказівки на ті геометричні місця, з допомогою яких дана задача може бути розв’язана.

Так, якщо задача подана у формі теореми, то відповідь на поставлене питання повністю або частково розв’язана і вимагається лише виконати відповідні побудови й обґрунтувати їх. Проілюструємо це на такому прикладі.

Відрізок прямої даної довжини ковзається по сторонах даного прямого кута. Довести, що геометричним місцем точок, що описуєються серединою цього відрізка, є чверть кола з центром у вершині прямого кута.

Тут відповідь частково відказана: шуканим геометричним місцем точок є чверть кола з центром у вершині прямго кута, і залишається побудувати радіус кола та обґрунтувати розв’язування.

Якщо ж в задачі за деякими даними вимагається побудувати певне геометричне місце точок без будь-яких вказівок до відповіді, то в такому випадку розв’язування задачі ускладнюється необхідністю спочатку знайти фігуру, утворену геометричним місцем точок, і потім відповідно обґрунтувати знайдений розв’язок. Попередній приклад задачі тепер виглядав би так.

Відрізок прямої даної довжини ковзається по сторонах даного прямого кута. Визначити геометричне місце точок, що їх описує середина цього відрізка.

Невідомість шуканої фігури в багатьох задачах на геометричні місця приводить до необхідності побудови лише ряду окремих точок її, дослідження того, чи всі ці точки належить шуканому геометричному місцю, і, нарешті, визначення положення шуканої фігури на площині відповідно до розміщення на площині даних в умові задачі елементів.

Виходячи з сказаного, розглянутий нами загальний план розв’язування задачі на побудову, на випадок розв’язування її методом геометричних місць, слід конкретизувати так:

1. В аналізі умови задачі встановлюємо способи побудови ряду окремих точок шуканого геометричного місця і будуємо робочий рисунок, зручний для обґрунтування задачі.

2. Побудова шуканої фігури внаслідок уточнення виду фігури, знайденої при аналізі.

3. Доведення установленої закономірності в розміщенні точок шуканого геометричного місця, тобто обґрунтування знайденого розв’язування задачі, причому для деяких задач доведення входить складовою частиною аналізу.

4. Дослідження розв’язку задачі в залежності від зміни даних умови і відсування найпростішого способу побудови знайденого геометричного місця точок.

Задача 1. Побудувати трикутник за основою, кутом при вершині і радіусу високого кола.

Аналіз. Нехай АВС – шуканий трикутник, А – даний його кут, r – заданий радіус вписаного кола, ВС = а – задана основа.

Розглянемо центр 0 вписаного кола. Точка О віддалена від точки ВС на відстань r (перша властивість центра). Крім цього (мал. 54),

, так що (друга властивість центра).

ГМТ, яке має першу властивість, представляє пару прямих паралельних ВС. ГМТ, яке володіє другою властивістю (відрізок ВС видно із О під кутом

), представляє пару дуг сегментів, які містять кут . Кожна точка перетину цих двох геометричних місць може служити центром вписаного кола.

Побудова: 1) На довільній прямій відкладаємо відрізок ВС=а (мал. 55).

Дані будуємо поступово: 2) пару прямих р₁ і р₂ паралельних ВС і віддалених від ВС на даній відстані r; 3) пару сегментів, які містять кут

; 4) точку О як одну із точок перетину згаданих геометричних місць; 5) круг ω (О, r); 6) із точок В і С проводимо промені В і С, які дотикаються до круга, ω; 7) відмічаємо точку А перетину цих променів. Трикутник АВС – шуканий.

Дослідження: Щоб ікнули точки, перетину згадуваних вище двох геометричних місць, необхідно достатньо, щоб стріла сегмента була не менше відрізка r, тобто щоб виконувалось відношення:

(1)

Кроки 5, 6 і 7 завжди виконуються. Останнє слідує з того, що

тому що промені в і с перетинаються. Не роблячи розмір між чотирма можливими однаковими розв’язками (в залежності від вибору точки О), приходимо до висновку, що при умові (1) задача має єдиний розв’язок, а якщо ця умова не виконується, то розв’язків немає.

Задача. Побудувати трикутник за його гострим кутом, при вершині, радіусом вписаного круга і сумі квадратів бокових сторін.

Аналіз. Нехай АВС – шуканий трикутник, ω(О₁К) – описаний круг навколо нього,

А=α – заданий кут, АВ²+АС²=d²,де d – даний відрізок (мал. 56).

Величина хорди ВС визначається без умови, що її видно з деякої точки круга ω під даним кутом α, а отже, із центра О – під кутом 2α (рівним центральним кутом відповідають рівні хорди). Що стосується точки А, що вона визначається двома умовами.

1) Вона лежить на крузі ω; 2) вона належить ГМТ, для яких сума квадратів відстаней від точок В і С рівна d² (це також круг).

Побудова. Будуємо поступово: 1) круг ω (О; R) з центром в довільній точці О; 2) два радіуси ОВ і ОС цього круга під кутом 2α один до другого; 3) відрізок ВС і його середину М; 4) круг Г, який є геометричним місцем точок Р, для яких ВР²+СР²=d²; 5) точку А перетин кругів ω і Г; 6) відрізки АВ і АС. Трикутник АВС відомий. Доведення зрозуміло з аналізу.

Дослідження. Коли круг Г існує і має спільну точку з дугою ВДС круга ω (мал. 56), то задача має єдиний розв’язок. В іншому разі розв’язку немає.

Зауваження: Так як радіус r круга Г дорівнює

МВ = Rsinα, BC = 2Rsinα, MD = R (1+cosα), то аналітично умову розв’язку можна записати так:

МВ<r≤MD

або після відповідних перетворень:

Висновок

Отже, в ході проведення дослідження ми дійшли наступних висновків.

Геометричним місцем точок називається фігура, що складається з усіх точок площини, які мають певну властивість.

Геометричне місце точок є одним з найважливіших понять геометрії. Але воно широко використовується не лише в геометрії, ай в математичному аналізі, механіці і в багатьох технічних дисциплінах. Тому поняття геометричного місця точок має велике загальноосвітнє значення.

Також, було досягнуто поставленої мети та вирішено визначені, відповідно до мети, завдання.

Література

1. І.Ф. Тесленко «Елементарна математика, геометрія», Київ, 1968 р.

2. Б.И. Аргунов и М.Б. Балк «Геометрические построения на плоскости», Москва, 1957 г.

3. М.І. Бурда, Л.М. Савченко «Геометрія» 8–9 кл., Київ «Освіта», 1966 р.

4. Чекова А.М. «Геометрія» 7–11 класи, 2007 р.

5. Тесленко І.Ф., Геометричні побудови, «Радянська школа», 1956 р.