Уравнение Дирака в квантовой теории (стр. 2 из 7)

(1.5)

В этом уравнении

есть матрица-столбец с N строками, а и – матрицы, имеющие по N строк и столбцов. Уравнение (1.5) и известно как уравнение Дирака.

Теперь найдем выражения для плотности и тока, которые соответствуют уравнению (1.5). Так как мы хотим сохранить для

привычное определение, то полагаем

(1.6а)

или в матричной записи

(1.6б)

где

– величина, эрмитово сопряженная , а следовательно, являющаяся матрицей-строкой, содержащей одну строку и N столбцов. Выражения (1.6) для плотности явно положительны определены и, таким образом, отвечают основным требованиям Дирака. Далее потребуем, чтобы удовлетворяла уравнению неразрывности

(1.7)

где ток j еще должен быть определен. Можно надеяться, что тогда будет применима обычная вероятностная интерпретация. Величина

удовлетворяет уравнению

(1.8)

которое получается эрмитовым сопряжением уравнением (1.5). Как и выше, "

" является знаком эрмитова сопряжения, при котором матрицы и транспонируются и комплексно сопрягаются, например

(1.9)

Перестановка

с в (1.8) необходима потому, что – строка, и, следовательно, и должны стоять после нее (а не перед ней).

Уравнение неразрывности типа (1.7) можно теперь вывести из уравнений (1.5) и (1.8), если первое умножить на

слева, а второе – на справа и сложить получившиеся результаты. Это приводит к уравнению

(1.10)

Последний член не содержит производных. Поэтому, если мы хотим отождествить уравнение (1.10) с уравнением (1.7), нужно добиться, чтобы этот член был равен нулю. Это можно достигнуть, если потребовать, чтобы

(1.11)

то есть чтобы матрица

была эрмитовой. Для отождествления второй группы членов в уравнении (1.10) с дивергенцией мы потребуем далее, чтобы

(1.12)

Другими словами, и

и должны быть эрмитовыми матрицами. Другой путь, ведущий к тому же результату,— переписать уравнение (1.5) в гамильтоновой форме:

(1.13)

Ясно, что для эрмитовости H матрицы

и должны быть эрмитовыми. Сравнивая (1.7) с (1.10), заключаем

(1.14)

Для вывода дальнейших свойств матриц

и нужно исследовать условия, которое накладывает требование, чтобы функция удовлетворяла уравнению

(1.3)

Где

С этой целью умножим уравнение (1.5) на оператор

Который приведет к появлению вторых производных. Члены с

и со смешанными пространственно-временными производными сокращаются, и мы получаем

(1.15)

Мы симметризовали здесь член

, что можно зделать вследствие коммутации и . Чтобы уравнение (1.15) согласовалось с уравнением Клейна-Гордона, необходимо его правую часть свести к

Это накладывает следующие условия:

(1.16)

(1.17)

(1.18)

то есть матрицы

должны антикоммутировать между собой и с матрицей , а квадрат каждой из четырех матриц должен быть равен единице.

В уравнении (1.16) символ

– контравариантный символ Кронекера, значение которого совпадает с , где – смешанный символ Кронекера, причем

В практических приложениях нет необходимости использовать явное представление для

и ; достаточно знать, что они эрмитовы и обладают свойствами (1.16) – (1.18). Более того, при решении задач удобнее обходиться без явного вида матриц. Однако их явное представление легко можно получить. Прежде всего замечаем, что размерность N должна быть четной.

На самом деле. Перепишем соотношение (1.17) в виде

(1.19)

где I – единичная матрица. Взяв детерминант от обеих частей равенства (1.19), получим

(1.20)

где учтено, что

. Отсюда , и число N должно быть четным.

Придадим уравнению Дирака ковариантный вид. В записи

(1.5)

для уравнения Дирака пространственные производные умножены на матрицы, а временные нет. Чтобы устранить это неравноправие, умножим уравнение (1.5) слева на матрицу

:

(1.21)

Уравнение примет более симметричный вид, если ввести матрицы

(1.22)

(1.23)

Отметим, что при таком определении матрица

эрмитова и ,а матрицы – антиэрмитовы, то есть , и . Отсюда следует, что матрицы удовлетворяют перестановочным соотношениям