Уравнение Дирака в квантовой теории (стр. 4 из 7)
(2.4)где множители
возникают в зависимости от того, коммутируют или антикоммутируют 
и 
друг с другом. Умножая (2.3) и (2.4) на 
и вычисляя след, получаем, что 
. Так как в качестве бралась любая из матриц Г, за исключением единичной, то единственный отличный от нуля коэффициент разложения (2.3) есть 
, что и требовалось доказать.Основная теорема о матрицах
гласит: если даны две системы 
матриц 
и 
, удовлетворяющих перестановочным соотношениям
(2.5а) 
(2.5б)то существует такая несобственная матрица S, что
(2.6)Явный вид S дается выражением
(2.7)где F – произвольная
матрица, которая может быть выбрана таким образом, чтобы матрица S была несобственной. Совокупность 16 линейно независимых 
построена из матриц точно так же, как были построены из . Для доказательства теоремы заметим, что если 
, где 
, то тогда 
, так что 
. Отметим, что в штрихованной системе число 
будет тем же самым, т.е 
, так как его значение определяется только перестановочными соотношениями, а они одинаковы для обеих совокупностей матриц. Так как равно либо , либо 
, то 
. Воспользовавшись для S представлением (2.7), получаем 
(2.8)с учетом того, что при фиксированном
матрица 
, находящаяся под знаком суммы по 
, пробегает все значения 16 элементов алгебры. Это позволило заменить сумму по суммой по 
. Таким образом, получаем 
(2.9)Так как матрицы
неприводимы, то по лемме Шура матрица S является несобственной. Кроме того, с точностью до множителя матрица S определяется однозначно. В самом деле, предположим, что таких матриц S имеется две, скажем 
и 
, так что 
и 
. Тогда исключая 
, получаем 
, т.е. что матрица 
коммутирует со всеми матрицами 
и, следовательно, кратен единичной матрице. Отсюда 
. Часто бывает удобным наложить условие нормировки 
, которая определяет матрицу S уже с точностью до множителя 
, равного , или .Интересен частный случай соотношения (2.7), когда
. В этом случае 
, и S есть матрица, кратная единичной: 
. Тогда матричный элемент соотношения (2.7) с индексами 
равен 
(2.10)Так как это тождество верно при любом выборе матрицы F, то из него следует
(2.11)где
– некоторая постоянная. Для определения этой постоянной свернем индексы 
и 
: 
(2.12)откуда
, и, таким образом, приходим к тождеству 
(2.13) Связь между координатами точек трехмерного пространства для двух наблюдателей, системы координат которых повернуты друг относительно друга вокруг общего начала, имеет вид
(3.1а)или
(3.1б)Длина вектора и угол между векторами остаются неизменными при вращениях, т.е.
(3.2)Следовательно,
(3.3)т. е. вращения представляются ортогональными матрицами. Из (3.3) следует
так что для матриц, удовлетворяющих (3.3),
Преобразования, для которых 
, называют собственными преобразованиями или вращениями, а те, для которых 
, несобственными ортогональными преобразованиями. Примером несобственного преобразования является отражение в начале координат, которое представляется матрицей 
(3.4)причем
. Преобразование 
соответствует переходу от правой системы координат к левой. Каждое несобственное преобразование 
с 
может быть записано в виде 
, т. е. как отражение , вслед за которым уже выполняется вращение; в самом деле, 
Совокупность всех вращений в евклидовом трехмерном пространстве образует группу – группу вращений. Группа всех вращений вместе с отражениями называется ортогональной группой. Так как каждый элемент группы может быть охарактеризован заданием трех непрерывно изменяющихся параметров (например, направляющих косинусов оси, вокруг которых совершается вращение, и угла поворота), то группа вращений является непрерывной трехпараметрической группой. Число параметров группы называется размерностью группы.