Вообще представление какой-либо группы G есть отображение (соответствие), сопоставляющее каждому элементу g из G линейный оператор Tg, действующий в некотором векторном пространстве V, и притом такое, что сохраняется таблица умножения для группы, а единица e группы G отображается тождественным преобразованием I в V.
Подпространство V1 пространства V называют инвариантным подпространством относительно представления Tg, если все векторы
в V1 преобразуются по Tg в векторы , снова принадлежащие V1, и это справедливо при всех преобразованиях Tg.Каждое вращение является вращением вокруг некоторой оси, так что она может быть характеризовано заданием оси вращения, т.е. оси, вокруг которой осуществляется поворот и величины угла поворота. Таким образом, вращение может быть задано вектором
, направленным вдоль оси вращения и равным по величине углу поворота. Так, вращение вокруг оси 1 задается вектором , вокруг оси 2 – вектором и т.д. Элемент группы может рассматриваться как функция , т.е. , и тоже относится к представлению: . Вектор соответствует тождественному преобразованию (3.5)Рассмотрим бесконечно малые вращения вокруг той или иной оси. Их важность связана с тем, что они порождают однопараметрические подгруппы и что любое конечное вращение может быть построено как последовательность бесконечно малых. Бесконечно малые вращения коммутируют друг с другом, тогда как конечные вращения в общем случае не коммутируют.
Пусть
будет матрицей поворота на угол вокруг оси 3, и пусть определена матрица (3.6)Оператор
называют генератором вращения вокруг оси 3. При бесконечно малом можно записать (3.7)Теперь вращения
на угол вокруг оси 3 может рассматриваться как результат n поворотов на угол . Поэтому мы можем записать (3.8)Аналогичным образом можно определить генераторы вращений вокруг осей 1 и 2. Так как
(3.9)то явным видом для
будети аналогично
(3.10б)Можно проверить, что генераторы
удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям: (3.11)где
– полностью антисимметричный тензор 3-го ранга с компонентами, равными +1, если ljk есть четная перестановка 1 2 3, равными –1, если перестановка нечетная, и равными нулю в остальных случаях. Отметим, что оператор отражения коммутирует со всеми вращениями (3.12)Бесконечно малый поворот вокруг
на угол может быть записан в виде (3.13)Соответствующий оператор представления запишем
где
образуют представление генераторов и удовлетворяют перестановочным соотношениям (3.15)Пусть операторы
. Эти операторы будут эрмитовыми и удовлетворяют перестановочным соотношениям для операторов момента количества движения (3.16)В случае группы вращений со всеми генераторами коммутирует оператор
, и поэтому он является инвариантом группы. Его собственные значения, как известно из теории оператора момента количества движения, равны , где .Таким образом, каждое неприводимое представление характеризуется положительным целым или полуцелым j, включая 0. Размерность неприводимого представления равна при любом весе j, целым или полуцелым. Переходя к классификации неприводимых представлений ортогональной группы, заметим, что линейный оператор , соответствующий операции отражения , коммутирует со всеми вращениями.В теории представления групп, осуществляемых комплексными матрицами, фундаментальное значение имеет лемма Шура, в которой доказывается, что необходимое и достаточное условие для неприводимости представления состоит в том, чтобы единственными матрицами, коммутирующими со всеми матрицами представления, были матрицы, кратные единичной.
По лемме Шура в каждом неприводимом представлении он должен быть кратен единичному оператору. Таким образом, неприводимые представления ортогональной группы классифицируются парой индексов
, где второй индекс является собственным значением , соответствующий данному представлению. При целых j имеем (ибо ), так что существуют два различных неприводимых представления ортогональной группы. В одном из них , в другом .При
представление одномерно, каждый элемент группы отображается единичным элементом, а генераторы тождественно равны нулю. Представление, в котором , назовем скалярным, а то, в котором , – псевдоскалярным.При
представление группы вращений двумерно, и генераторы могут быть реализованы эрмитовыми матрицами Паули , умноженными на : (3.17)Они удовлетворяют соотношению
(3.18)Таким образом, в представлении веса
оператор поворота на угол вокруг оси 3 записывается в виде