Уравнение Дирака в квантовой теории (стр. 6 из 7)

(3.19а)

Аналогично, в представлении

записываются и операторы поворота на угол вокруг осей 1 и 2:

(3.19б)

(3.19в)

Отметим, что матрицы

унитарны и имеют детерминант, равный единице. Отметим также, что поворот на угол вокруг любой оси дает

(3.20)

Таким образом, представление двузначно, и соответствие между элементами группы и операторами можно выразить

.

При

представление трехмерно, и в качестве матричного представления генераторов можно взять матрицы , определенные выше в виде (3.10а) и (3.10б). Обычное же квантово-механическое представление для при имеет вид

(3.21)

Оно унитарно эквивалентно представлению, полученному для

: соответствует базису , вместо обычного декартова базиса

Величины

, которые при вращении системы координат

(3.22)

преобразуются по закону

(3.23)

называют скалярами при

, спинорами 1-го ранга при , векторами при и т.д. При бесконечно малых поворотах на угол вокруг l-ой оси закон преобразования (3.23) принимает вид

(3.24)

Таким образом, скаляр есть однокомпонентная величина, которая при вращениях

преобразуется по закону . Спинор 1-го ранга является двухкомпонентной величиной

(3.25)

которая при бесконечно малых поворотах на угол

вокруг l-ой оси

(3.26)

преобразуется по закону

(3.27)

Как было отмечено выше, при вращениях на любой конечный угол спинор 1-го ранга преобразуется при помощи унитарной матрицы размерностью

и с детерминантом, равным единице. Наконец, вектор является трехкомпонентной величиной

(3.28)

компоненты которой

при вращении (3.22) преобразуются так же, как сами координаты.

Сопряжение спинора

выполняется обычным образом путем транспонирования и комплексного сопряжения. Таким образом, при спинор , сопряженный к , имеет вид

(3.29)

При бесконечно малом повороте вокруг l-ой оси он преобразуется по закону

(3.30)

4. Общее решение уравнения Дирака

Уравнение Дирака имеет решение в виде плоских волн:

(4.1)

где

– 4-компонентный спинор, удовлетворяющий уравнению

(4.2)

Скалярное произведение двух спиноров

и записывается в виде

(4.3)

Если I – единичная

матрица, а – Матрицы Паули, то тогда матрицы

(4.4)

эрмитовы и антикоммутируют друг с другом.

При таком определении скалярного произведения гамильтониан

эрмитов:

(4.5)

(здесь учтено, что

и ), и поэтому его собственные значения действительны. Уравнение (4.2) является системой четырех линейных однородных уравнений для компонент . Нетривиальные решения существуют только, если . Итак, уравнение имеет решение только тогда, когда , т.е. . Пусть будет решением, соответствующим и, следовательно, удовлетворяющим уравнению

(4.6)

Если представить решение

в виде , где и имеют по две компоненты, и если принять для матриц и представление (4.4), то получим уравнение для и :

(4.7а)

(4.7б)

С учетом того, что

, находим из (4.7б)

(4.8)

а подставляя это выражение обратно в (4.7а), получаем уравнение

(4.9)

Однако, поскольку

и

(4.10)