Похідна Фреше та похідна Гато (стр. 2 из 9)
Приклад 2. Нехай
– гільбертов простір, 
і 
. Нехай спочатку 
. Тоді 
(1)Оскільки
, то 
, (2)де
при 
. Із рівностей (1) та (2) випливає, що 
,де
– лінійний по 
функціонал і 
.Оскільки
, то 
при 
. Таким чином, 
диференційовна в будь-якій ненульовій точці 
простору 
і 
.Нехай тепер
. Тоді 
. Покажемо, що не існує елемента 
такого, що при всіх достатньо малих 
, (3)де
при 
. Якщо б це було так, то також 
, або 
, (4)де
при . Але тоді з рівностей (3) та (4) випливає 
при , що неможливо.Таким чином, відображення
не диференційовне за Фреше в точці 
.Приклад 3. Нехай
і 
, де ядро 
неперервне в квадраті 
, 
– функція двох змінних, визначена в полосі 
і неперервна в цій області. Тоді 
– функція, визначена на 
і яка приймає значення в цьому ж просторі.Припустимо, що функція
не тільки неперервна, але й має частинну похідну 
, рівномірно неперервну в полосі 
.Тоді
– диференційовна функція. А саме, для довільної функції 
маємо 
За теоремою Лагранжа,
,де
. Далі, маємо 
.При
, тобто при 
рівномірно на 
, також 
рівномірно на 
, оскільки функція, неперервна в замкненій обмеженій області 
, рівномірно неперервна в цій області. Тому 
,де
і 
.При цьому
і тому 
при 
.Таким чином,
диференційовна за Фреше і 
.Приклад 4. Якщо
і границя 
існує, то 
диференційовне в точці 
і 
. Дійсно, в цьому випадку 
, де 
при 
, і диференційованість очевидна.Множина відображень, визначених в околі точки
, які приймають значення в просторі Y та диференційовних в точці 
, є лінійною системою , а також оператор диференціювання є лінійним, тобто 
,або, інакше,
.Далі, з рівності
випливає, що функція
, диференційовна в точці , неперервна в цій точці.Обернене твердження не вірне (приклад 2).
Якщо
– лінійний неперервний оператор, що діє з X в Y, то для будь-якого 
маємо 
. Дійсно, тоді при всіх 
,звідки й випливає наведене твердження.
Слід зазначити, що відображення
та 
, які мають область визначення в одному і тому просторі, діють в різні простори, а саме 
, а 
. Якщо диференційовне всюди на G, то 
, 
.