Похідна Фреше та похідна Гато (стр. 5 из 9)

Наслідок 2 доведено.

Теорема 1. Нехай відображення

неперервне на , і відрізок цілком належить . Якщо диференційовне за напрямком у всіх точках відрізку , то

.

Доведення. Розглянемо функцію

,

де

– довільний неперервний лінійний функціонал на просторі . Функція неперервна на , має на праву похідну . Дійсно, нехай і . Маємо

,

де

при . Але тоді і, тому, існує

.

За наслідком 1 з леми 1 маємо

.

Оскільки

, то ця нерівність дає

.

Нехай функціонал

такий, що . Тоді

.

Теорема 1 доведена.

Теорема 2. Якщо відображення

неперервне в і диференційовне в кожній точці цієї множини за будь-яким напрямком , а похідна неперервна по і рівномірно відносно неперервна по , то

диференційовне в по Фреше і .

Доведення. Покажемо, що в умовах теореми

лінійно залежить від h. Фіксуючи точку , при довільних достатньо малих h, kÎX і довільному розглянемо функцію

двох дійсних змінних t і t. Використовуючи умови теореми і наслідок 2 з леми 1, можна показати в достатньо малому околі точки (0,0) функція

має неперервні частинні похідні

, (8)

Вводимо функцію

, a,bÎR

В силу теореми про диференціювання композиції функцій маємо

(9)

Але

, звідки з урахуванням рівностей (8) та (9) отримуємо

Оскільки

довільне, то , і лінійність доведено.

Залишається довести, що

.

Покладемо

.

неперервна на [0,1) і має на [0,1) неперервну похідну

.

За теоремою Лагранжа,

, тобто

Для довільного, але фіксованого

обираємо так, щоб і

Тоді знаходимо

Оскільки

лінійний і неперервний (за умовою) відносно h оператор, то , де . Далі, в силу неперервності по x рівномірно відносно h, знаходимо

,

якщо

. Тому

Теорема доведена.

1.3.2 Похідні по підпростору

Поняття, проміжне між похідною Фреше і похідною за напрямком, є похідна по підпростору. Нехай дано відображення

і – підпростір . Якщо для існує неперервний лінійний оператор такий, що для будь-якого , яке задовольняє умові ,

,

то відображення f називається диференційовним в точці x по підпростору X₀ і позначається

. Якщо X – пряма сума підпросторів X₁ та X₂ і похідні відображення f по підпросторам X₁ та X₂ в точці існують, то вони називаються частинними похідними відображення f в цій точці і позначаються і .

Лема. Якщо

і відображення має в околі точці частинні похідні і , неперервні в цій точці, то відображення f диференційовне в точці за Фреше і

, .