Смекни!
smekni.com

Абелевы универсальные алгебры (стр. 2 из 11)

3) (транзитивность): если

и
, то
.

Отметим, что условия 1) – 3) означают, что

эквивалентностъ на множестве
.

Определение 1.7. Пусть

– гомоморфизм алгебры
в
. Ядром гомоморфизма
называется подмножество

В работе [3] приводятся следующие теоремы об изоморфизмах

Теорема 1Ядро гомоморфизма является конгруэнцией.

Определение 1.8. Если

– конгруэнция на алгебре
и
, то множество

называется классом конгруэнции

. Множество всех классов конгруэнции
обозначают через
. При этом для каждой
-арной операции
считают
, а для
-арной операции
, где
, –
. Получившуюся алгебру называют фактор-алгеброй алгебры
по конгруэнции
.

Теорема Первая теорема об изоморфизмах 2Если

– гомоморфизм алгебры
в
, то

Теорема Вторая теорема об изоморфизмах 3Пусть

конгруэнция на алгебре
,
– подалгебра алгебры
. Тогда

Определение 1.9. Если

,
– конгруэнции на алгебре
и
содержится в
, то обозначим

и назовем фактором алгебры

или фактором на
.

Теорема Третья теорема об изоморфизмах 4Пусть

– фактор на алгебре
. Тогда

Определение 1.10. Если

и
– конгруэнции алгебры
, то полагают

Теорема 5Произведение двух конгруэнции является конгруэнцией тогда и только тогда, когда они перестановочны.

Определение 1.11. Класс алгебраических систем

называется формацией, если выполняются следующие условия:

1) каждый гомоморфный образ любой

-системы принадлежит
;

2) всякое конечное поддекартово произведение

-систем принадлежит
.

Определение 1.12. Формальное выражение

, где
и
– слова сигнатуры
в счетном алфавите
, называется тождеством сигнатуры
. Скажем, что в алгебре
выполнено тождество
, если после замены букв любыми элементами алгебры
и осуществления входящих в слова
и
операций слева и справа получается один и тот же элемент алгебры
, т.е. для любых
в алгебре
имеет место равенство

Определение 1.13. Класс

алгебр сигнатуры
называется многообразием, если существует множество
тождеств сигнатуры
такое, что алгебра сигнатуры
принадлежит классу
тогда и только тогда, когда в ней выполняются все тождества из множества
. Многообразие называется мальцевским, если оно состоит из алгебр, в которых все конгруэнции перестановочны.

2.Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр

Напомним, что класс

алгебр сигнатуры
называется многообразием, если существует множество
тождеств сигнатуры
такое, что алгебра сигнатуры
принадлежит классу
тогда и только тогда, когда в ней выполняются все тождества из множества
.

Многообразие называется мальцевским, если оно состоит из алгебр, в которых все конгруэнции перестановочны.

Все алгебры считаются принадлежащими некоторому фиксированному мальцевcкому многообразию. Используются стандартные обозначения и определения из[2].