3) (транзитивность): если
и , то .Отметим, что условия 1) – 3) означают, что
– эквивалентностъ на множестве .Определение 1.7. Пусть
– гомоморфизм алгебры в . Ядром гомоморфизма называется подмножествоВ работе [3] приводятся следующие теоремы об изоморфизмах
Теорема 1Ядро гомоморфизма является конгруэнцией.
Определение 1.8. Если
– конгруэнция на алгебре и , то множествоназывается классом конгруэнции
. Множество всех классов конгруэнции обозначают через . При этом для каждой -арной операции считают , а для -арной операции , где , – . Получившуюся алгебру называют фактор-алгеброй алгебры по конгруэнции .Теорема Первая теорема об изоморфизмах 2Если – гомоморфизм алгебры в , то
Теорема Вторая теорема об изоморфизмах 3Пусть конгруэнция на алгебре , – подалгебра алгебры . Тогда
Определение 1.9. Если
, – конгруэнции на алгебре и содержится в , то обозначими назовем фактором алгебры или фактором на .
Теорема Третья теорема об изоморфизмах 4Пусть – фактор на алгебре . Тогда
Определение 1.10. Если
и – конгруэнции алгебры , то полагаютТеорема 5Произведение двух конгруэнции является конгруэнцией тогда и только тогда, когда они перестановочны.
Определение 1.11. Класс алгебраических систем
называется формацией, если выполняются следующие условия:1) каждый гомоморфный образ любой
-системы принадлежит ;2) всякое конечное поддекартово произведение
-систем принадлежит .Определение 1.12. Формальное выражение
, где и – слова сигнатуры в счетном алфавите , называется тождеством сигнатуры . Скажем, что в алгебре выполнено тождество , если после замены букв любыми элементами алгебры и осуществления входящих в слова и операций слева и справа получается один и тот же элемент алгебры , т.е. для любых в алгебре имеет место равенствоОпределение 1.13. Класс
алгебр сигнатуры называется многообразием, если существует множество тождеств сигнатуры такое, что алгебра сигнатуры принадлежит классу тогда и только тогда, когда в ней выполняются все тождества из множества . Многообразие называется мальцевским, если оно состоит из алгебр, в которых все конгруэнции перестановочны.2.Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр
Напомним, что класс
алгебр сигнатуры называется многообразием, если существует множество тождеств сигнатуры такое, что алгебра сигнатуры принадлежит классу тогда и только тогда, когда в ней выполняются все тождества из множества .Многообразие называется мальцевским, если оно состоит из алгебр, в которых все конгруэнции перестановочны.
Все алгебры считаются принадлежащими некоторому фиксированному мальцевcкому многообразию. Используются стандартные обозначения и определения из[2].