В данной работе конгруэнции произвольной алгебры будем обозначать греческими буквами.
Если
– конгруэнция на алгебре , тосмежный класс алгебры
по конгруэнции . или – диагональ алгебры .Для произвольных конгруэнции
и на алгебре будем обозначать множество всех конгруэнции на алгебре таких, чтотогда и только тогда, когда
Так как
, то множество не пусто.Следующее определение дается в работе[2].
Определение 2.1. Пусть
и – конгруэнции на алгебре . Тогда централизует (записывается: ), если на существует такая конгруэнция , что:1) из
всегда следует
2) для любого элемента
всегда выполняется
3) если
то
Под термином «алгебра» в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие
.Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом[3], сформулируем в виде леммы.
Лемма 2.1. Пусть
. Тогда:1) существует единственная конгруэнция
, удовлетворяющая определению 2.1;2)
;3) если
то
Из леммы 2.1. и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции
на алгебре всегда существует наибольшая конгруэнция, централизующая . Она называется централизатором конгруэнции в и обозначается .В частности, если
, то централизатор в будем обозначать .Лемма 2.2. Пусть
, – конгруэнции на алгебре , , , . Тогда справедливы следующие утверждения:1)
;2)
, где ;3) если выполняется одно из следующих отношений:
4) из
всегда следуетДоказательство:
1) Очевидно, что
– конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. В силу пункта 1) леммы 2.1. и .2)
– конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. Значит3) Пусть
. ТогдаПрименим к последним трем соотношениям мальцевский оператор
такой, чтоТогда получим
т.е.
Аналогичным образом показываются остальные случаи из пункта 3).
4) Пусть
Тогда справедливы следующие соотношения:
Следовательно,
где
– мальцевский оператор.Тогда
то есть
.Так как
то
.Таким образом
. Лемма доказана.Следующий результат оказывается полезным при доказательстве последующих результатов.
Лемма. 2.3. Любая подалгебра алгебры
, содержащая диагональ , является конгруэнцией на алгебре .Доказательство:
Пусть
Тогда из