Смекни!
smekni.com

Абелевы универсальные алгебры (стр. 3 из 11)

В данной работе конгруэнции произвольной алгебры будем обозначать греческими буквами.

Если

– конгруэнция на алгебре
, то

смежный класс алгебры

по конгруэнции
.
или
– диагональ алгебры
.

Для произвольных конгруэнции

и
на алгебре
будем обозначать
множество всех конгруэнции на алгебре
таких, что

тогда и только тогда, когда

Так как

, то множество
не пусто.

Следующее определение дается в работе[2].

Определение 2.1. Пусть

и
– конгруэнции на алгебре
. Тогда
централизует
(записывается:
), если на
существует такая конгруэнция
, что:

1) из

всегда следует

2) для любого элемента

всегда выполняется

3) если

то

Под термином «алгебра» в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие

.

Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом[3], сформулируем в виде леммы.

Лемма 2.1. Пусть

. Тогда:

1) существует единственная конгруэнция

, удовлетворяющая определению 2.1;

2)

;

3) если

то

Из леммы 2.1. и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции

на алгебре
всегда существует наибольшая конгруэнция, централизующая
. Она называется централизатором конгруэнции
в
и обозначается
.

В частности, если

, то централизатор
в
будем обозначать
.

Лемма 2.2. Пусть

,
– конгруэнции на алгебре
,
,
,
. Тогда справедливы следующие утверждения:

1)

;

2)

, где
;

3) если выполняется одно из следующих отношений:

4) из

всегда следует

Доказательство:

1) Очевидно, что

– конгруэнция на
, удовлетворяющая определению 2.1. В силу пункта 1) леммы 2.1. и
.

2)

– конгруэнция на
, удовлетворяющая определению 2.1. Значит

3) Пусть

. Тогда

Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор

такой, что

Тогда получим

т.е.


Аналогичным образом показываются остальные случаи из пункта 3).

4) Пусть

Тогда справедливы следующие соотношения:

Следовательно,

где

– мальцевский оператор.

Тогда

то есть

.

Так как

то

.

Таким образом

. Лемма доказана.

Следующий результат оказывается полезным при доказательстве последующих результатов.

Лемма. 2.3. Любая подалгебра алгебры

, содержащая диагональ
, является конгруэнцией на алгебре
.

Доказательство:

Пусть

Тогда из