Абелевы универсальные алгебры (стр. 4 из 11)
следует, что
Аналогичным образом из
получаем, что
Итак,
симметрично и транзитивно. Лемма доказана.Доказательство следующего результата работы [1] содержит пробел, поэтому докажем его.
Лемма 2.4. Пусть
. Тогда 
для любой конгруэнции 
на алгебре 
.Доказательство:
Обозначим
и определим на алгебре 
бинарное отношение 
следующим образом: 
тогда и только тогда, когда
где
Используя лемму 2.3, нетрудно показать, что
– конгруэнция на алгебре , причем 
Пусть
то есть
Тогда
и, значит
Пусть, наконец, имеет место
Тогда справедливы следующие соотношения:
применяя мальцевчкий оператор
к этим трем соотношениям, получаем 
Из леммы 2.2 следует, что
Так как
то
Значит,
Но
, следовательно, 
.Итак,
и удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.
Лемма 2.5. Пусть
, – конгруэнции на алгебре , и 
– изоморфизм, определенный на .Тогда для любого элемента
отображение 
определяет изоморфизм алгебры 
на алгебру 
, при котором 
.В частности,
.Доказательство.
Очевидно, что
– изоморфизм алгебры на алгебру , при котором конгруэнции , изоморфны соответственно конгруэнциям 
и 
.Так как
то определена конгруэнция
удовлетворяющая определению 2.1.
Изоморфизм
алгебры на алгебру индуцирует в свою очередь изоморфизм 
алгебры 
на алгебру 
такой, что 
для любых элементов
и 
, принадлежащих . Но тогда легко проверить, что 
– конгруэнция на алгебре , изоморфная конгруэнции 
.Это и означает, что
Лемма доказана.
Определение 2.2. Если
и 
– факторы на алгебре такие, что 
то конгруэнцию
обозначим через 
и назовем централизатором фактора в .Напомним, что факторы
и 
назыавются перспективными, если либо 
либо
Докажем основные свойства централизаторов конгруэнции.
Теорема 6Пусть , , , – конгруэнции на алгебре . Тогда:
1) если
, то 
2) если
, то