3) если
, и факторы , перспективны, то4) если
– конгруэнции на и , тогде
, .Доказательство.
1) Так как конгруэнция
централизует любую конгруэнцию и , то2) Из первого пункта лемы 2.2 следует, что
а в силу леммы 2.4 получаем, что
Пусть
– изоморфизм . ОбозначимПо лемме 2.5
, а по определениюСледовательно,
3) Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнции
и на алгебре имеет место равенствоПокажем вналале, что
Обозначим
. Тогда, согласно определению 2.1. на алгебре существует такая конгруэнция , что выполняются следующие свойства:а) если
, тоб) для любого элемента
,в) если
то
Построим бинарное отношение
на алгебре следующим образом:тогда и только тогда, когда
и
Покажем, что
– конгруэнция на . Пустьдля
. Тогдаи
Так как
– конгруэнция, то для любой -арной операции имеемОчевидно, что
и
Следовательно,
Очевидно, что для любой пары
Значит,
Итак, по лемме 2.3,
– конгруэнция на . Покажем теперь, что удовлетворяет определению 2.1, то есть централизует . ПустьТогда
Так как
, и , то . Следовательно, удовлетворяет определению 2.1.Если
, тозначит,
Пусть, наконец, имеет место (1) и
Тогда
Так как
и , то , следовательно, . Из (2) следует, что , а по условию . Значит, и поэтомуТем самым показано, что конгруэнция
удовлетворяет определению 2.1, то есть централизует .Докажем обратное включение. Пусть
Тогда на алгебре
определена конгруэнцияудовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение
на алгебре следующим образом:тогда и только тогда, когда
и
, .Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что
– конгруэнция на алгебре . Заметим, что из доказанного включения в одну сторону следует, что . Покажем поэтому, что централизует .