Смекни!
smekni.com

Абелевы универсальные алгебры (стр. 5 из 11)

3) если

,
и факторы
,
перспективны, то

4) если

– конгруэнции на
и
, то

где

,
.

Доказательство.

1) Так как конгруэнция

централизует любую конгруэнцию и
, то

2) Из первого пункта лемы 2.2 следует, что

а в силу леммы 2.4 получаем, что

Пусть

– изоморфизм
. Обозначим

По лемме 2.5

, а по определению

Следовательно,

3) Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнции

и
на алгебре
имеет место равенство

Покажем вналале, что


Обозначим

. Тогда, согласно определению 2.1. на алгебре
существует такая конгруэнция
, что выполняются следующие свойства:

а) если

, то

б) для любого элемента

,

в) если

то

Построим бинарное отношение

на алгебре
следующим образом:

тогда и только тогда, когда


и

Покажем, что

– конгруэнция на
. Пусть

для

. Тогда

и

Так как

– конгруэнция, то для любой
-арной операции
имеем

Очевидно, что

и

Следовательно,


Очевидно, что для любой пары

Значит,

Итак, по лемме 2.3,

– конгруэнция на
. Покажем теперь, что
удовлетворяет определению 2.1, то есть
централизует
. Пусть

Тогда

Так как

,
и
, то
. Следовательно,
удовлетворяет определению 2.1.

Если

, то

значит,


Пусть, наконец, имеет место (1) и

Тогда

Так как

и
, то
, следовательно,
. Из (2) следует, что
, а по условию
. Значит,
и поэтому

Тем самым показано, что конгруэнция

удовлетворяет определению 2.1, то есть
централизует
.

Докажем обратное включение. Пусть

Тогда на алгебре

определена конгруэнция

удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение

на алгебре
следующим образом:

тогда и только тогда, когда

и

,
.

Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что

– конгруэнция на алгебре
. Заметим, что из доказанного включения в одну сторону следует, что
. Покажем поэтому, что
централизует
.