называемый центральным, что
Лемма 3.1. Любая подалгебра нильпотентной алгебры нильпотентна.
Доказательство:
Пусть
– подалгебра нильпотентной алгебры . Так как обладает центральным рядомто для любого
на алгебре существует конгруэнция удовлетворяющая определению 2.1. А именно, извсегда следует
и
1) для любого элемента
всегда выполняется
2) если
и
то
Заметим, что в дальнейшем, для сокращения записи, будем учитывать тот факт, что
тогда и только тогда, когда
Построим следующий ряд конгруэнции на алгебре
:где
Покажем, что этот ряд является центральным. Для этого на алгебре
для любого определим бинарное отношение следующим образом:тогда и только тогда, когда
Покажем, что
– конгруэнция на алгебре . ПустьТогда
и для любой
-арной операции имеемСледовательно,
Итак,
– подалгебра алгебры .Очевидно, что для любого элемента
имеет местоТаким образом, согласно лемме 2.3,
– конгруэнция на алгебре .Пусть
Тогда
и так как , тоЕсли
, то и, значит,т.е.
Пусть, наконец,
Тогда
и так как
Следовательно,
Итак, конгруэнция
удовлетворяет определению 2.1. для любого . Лемма доказана.Лемма 3.2. Пусть
и – конгруэнции на алгебре ,и
– изоморфизм, определенный на алгебре .Тогда для любого элемента
отображениеопределяет изоморфизм алгебры
на алгебру , при которомДоказательство:
Очевидно, что
– изоморфизм алгебры на алгебру , при котором конгруэнции и изоморфны соответственно конгруэнциям и .Так как
, то существует конгруэнция на алгебре , удовлетворяющая определению 2.1. Изоморфизм алебры на алгебру индуцирует в свою очередь изоморфизм алгебры на алгебру такой, чтодля любых элементов
, .Но тогда легко проверить, что
– конгруэнция на алгебре изоморфная конгруэнции . Это и означает, чтоЛемма доказана.
Лемма 3.3. Фактор-алгебра нильпотентной алгебры нильпотентна.
Доказательство:
Пусть
центральный ряд алгебры
. Покажем, что для любой конгруэнции на алгебре рядявляется центральным, т.е.