Смекни!
smekni.com

Абелевы универсальные алгебры (стр. 7 из 11)

называемый центральным, что

Лемма 3.1. Любая подалгебра нильпотентной алгебры нильпотентна.

Доказательство:

Пусть

– подалгебра нильпотентной алгебры
. Так как
обладает центральным рядом

то для любого

на алгебре
существует конгруэнция
удовлетворяющая определению 2.1. А именно, из


всегда следует

и

1) для любого элемента

всегда выполняется

2) если

и

то

Заметим, что в дальнейшем, для сокращения записи, будем учитывать тот факт, что


тогда и только тогда, когда

Построим следующий ряд конгруэнции на алгебре

:

где

Покажем, что этот ряд является центральным. Для этого на алгебре

для любого
определим бинарное отношение
следующим образом:

тогда и только тогда, когда

Покажем, что

– конгруэнция на алгебре
. Пусть


Тогда

и для любой

-арной операции
имеем

Следовательно,

Итак,

– подалгебра алгебры
.

Очевидно, что для любого элемента

имеет место

Таким образом, согласно лемме 2.3,

– конгруэнция на алгебре
.

Пусть

Тогда

и так как
, то

Если

, то
и, значит,

т.е.

Пусть, наконец,

Тогда

и так как

Следовательно,

Итак, конгруэнция

удовлетворяет определению 2.1. для любого
. Лемма доказана.

Лемма 3.2. Пусть

и
– конгруэнции на алгебре
,


и

– изоморфизм, определенный на алгебре
.

Тогда для любого элемента

отображение

определяет изоморфизм алгебры

на алгебру
, при котором

Доказательство:

Очевидно, что

– изоморфизм алгебры
на алгебру
, при котором конгруэнции
и
изоморфны соответственно конгруэнциям
и
.

Так как

, то существует конгруэнция
на алгебре
, удовлетворяющая определению 2.1. Изоморфизм
алебры
на алгебру
индуцирует в свою очередь изоморфизм
алгебры
на алгебру
такой, что

для любых элементов

,
.

Но тогда легко проверить, что

– конгруэнция на алгебре
изоморфная конгруэнции
. Это и означает, что

Лемма доказана.

Лемма 3.3. Фактор-алгебра нильпотентной алгебры нильпотентна.

Доказательство:

Пусть

центральный ряд алгебры

. Покажем, что для любой конгруэнции
на алгебре
ряд

является центральным, т.е.