Абелевы универсальные алгебры (стр. 8 из 11)

для любого

. В силу известных теорем об изоморфизмах для алгебр (см., например, теоремы II.3.7, II.3.11 ) и леммы 3.2., достаточно показать, что

Пусть

– конгруэнция на алгебре , удовлетворяющая определению 2.1. Определим бинарное отношение на алгебре следующим образом

тогда и только тогда, когда найдутся такие элементы

, что

и

Непосредственной проверкой убеждаемся, что

– конгруэнция на алгебре .

Таким образом осталось показать, что

удовлетворяет определению 2.1.

Пусть

тогда из соотношения

следует, что

Так как

то

. Итак,

Пусть

. Тогда для некоторого элемента , и .

Таким образом,

следовательно,

Так как

, то это означает, что

Пусть

где

Покажем, что

. В силу определения найдутся , что

и

При этом имеют место следующие соотношения:

Следовательно,

Но тогда по определению 3.2.

А так как

, то

Теперь из того, что

следует, что

Лемма доказана.

Доказательство следующего результата осуществляется простой проверкой.

Лемма 3.4. Пусть

– конгруэнция на алгебре , . Пологая

тогда и только тогда, когда

для любого , получаем конгруэнцию на алгебре .

Лемма 3.5. Прямое произведение конечного числа нильпотентных алгебр нильпотентно.

Доказательство:

Очевидно, достаточно показать, что если

, и – нильпотентные алгебры, то – нильпотентная алгебра.

Пусть

центральные ряды алгебр

и соответственно. Если , то, уплотнив первый ряд повторяющимися членами, получим центральный ряд алгебры длины . Таким образом, можно считать, что эти ряды имеют одинаковую длину, равную .

Построим теперь ряд конгруэнции на алгебре

следующим образом:

где

тогда и только тогда, когда , , .

Покажем, что последний ряд является центральным, т.е.

для произвольного . Так как

то на алгебрах

и соответственно заданы конгруэнци и , удовлетворяющие определению 2.1.

Определим бинарное отношение

на алгебре следующим образом:

и только тогда, когда

и

Легко непосредственной проверкой убедиться, что

– конгруэнция на алгебре . Осталось показать, что удовлетворяет определению 2.1.

Пусть имеет место

Тогда согласно введенному определению