и
откуда следует, что
т.е.
Пусть
Это означает
Но тогда
и
Следовательно,
Пусть имеет место
Это означает, что
и
Значит,
и , т.е. . Лемма, доказана.Как известно, наследственной формацией называется класс алгебр, замкнутых относительно фактор-алгебр, подпрямых произведений и относительно подалгебр.
Результаты, полученные в леммах 3.1, 3.3, 3.5 можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема 7Класс всех нильпотентных алгебр мальцевского многообразия является наследственной формацией.
Определение 3.3.
-арная группа называется нильпотентной, если она обладает таким нормальным рядомчто
и
для любого
.Так как конгруэнции на
-арных группах попарно перестановочны (смотри, например, ), то это дает возможность использовать полученные результаты в исследовании таких групп.Лемма 3.6. Пусть
– -арная группа. и – нормальные подгруппы группы и .Тогда
, где и конгруэнции, индуцированные соответственно подгруппами и на группе .Доказательство:
Подгруппы
и индуцируют на группе конгруэнции и , определяемые следующим образом:Определим на
бинарное отношение следующим образом:тогда и только тогда, когда существуют такие последовательности элементов
и из и соответственно, чтоПокажем, что
– подалгебра алгебры . Для сокращения записи будем в дальнейшем опускать -арный оператор .Пусть
Так как
, тоТак как
, тоПоэтому в силу того, что
,Итак,
– подалгебра алгебры .Пусть
– нейтральная последовательность группы , а, следовательно, и группы . Тогда из определения бинарного отношения следует, чтоТем самым доказало, что
– конгруэнция на .Тo, что
удовлетворяет определению 2.1, очевидно. Лемма доказана.Лемма 3.7. Пусть
– нильпотентная -арная группа. Тогда удовлетворяет определению 2.1.Доказательство:
Так как
для любого , то индуцирует конгруэнцию на . Таким образом обладает рядом конгруэнции, который в силу леммы 3.6 будет являться центральным. Лемма доказана.В частности, для произвольной бинарной группы
отсюда следует, что нильпотентна тогда и только тогда, когда, удовлетворяет определению 3.2. В этом случае теорема 3.2 просто констатируе тот факт, что класс всех нильпотентных групп образует наследственную формацию.4. Классы абелевых алгебр и их свойства
Как уже было отмечено в параграфе 3, алгебра
называется нильпотентной, если существует такой ряд конгруэнций