Смекни!
smekni.com

Абелевы универсальные алгебры (стр. 9 из 11)

и

откуда следует, что

т.е.

Пусть

Это означает


Но тогда

и

Следовательно,

Пусть имеет место

Это означает, что

и

Значит,

и
, т.е.
. Лемма, доказана.

Как известно, наследственной формацией называется класс алгебр, замкнутых относительно фактор-алгебр, подпрямых произведений и относительно подалгебр.

Результаты, полученные в леммах 3.1, 3.3, 3.5 можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема 7Класс всех нильпотентных алгебр мальцевского многообразия является наследственной формацией.

Определение 3.3.

-арная группа
называется нильпотентной, если она обладает таким нормальным рядом

что

и

для любого

.

Так как конгруэнции на

-арных группах попарно перестановочны (смотри, например, ), то это дает возможность использовать полученные результаты в исследовании таких групп.

Лемма 3.6. Пусть

-арная группа.
и
– нормальные подгруппы группы
и
.

Тогда

, где
и
конгруэнции, индуцированные соответственно подгруппами
и
на группе
.

Доказательство:

Подгруппы

и
индуцируют на группе
конгруэнции
и
, определяемые следующим образом:

-арная операция.

Определим на

бинарное отношение
следующим образом:

тогда и только тогда, когда существуют такие последовательности элементов

и
из
и
соответственно, что

Покажем, что

– подалгебра алгебры
. Для сокращения записи будем в дальнейшем опускать
-арный оператор
.

Пусть

Так как

, то

Так как

, то

Поэтому в силу того, что

,

Итак,

– подалгебра алгебры
.

Пусть

– нейтральная последовательность группы
, а, следовательно, и группы
. Тогда из определения бинарного отношения
следует, что

Тем самым доказало, что

– конгруэнция на
.

Тo, что

удовлетворяет определению 2.1, очевидно. Лемма доказана.

Лемма 3.7. Пусть

– нильпотентная
-арная группа. Тогда
удовлетворяет определению 2.1.

Доказательство:

Так как

для любого
, то
индуцирует конгруэнцию
на
. Таким образом
обладает рядом конгруэнции, который в силу леммы 3.6 будет являться центральным. Лемма доказана.

В частности, для произвольной бинарной группы

отсюда следует, что
нильпотентна тогда и только тогда, когда,
удовлетворяет определению 3.2. В этом случае теорема 3.2 просто констатируе тот факт, что класс всех нильпотентных групп образует наследственную формацию.

4. Классы абелевых алгебр и их свойства

Как уже было отмечено в параграфе 3, алгебра

называется нильпотентной, если существует такой ряд конгруэнций